Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

(9) Se f + g são diferenciáveis em a , então f e g são necessariamente diferenciáveis em a ? Se f · g e f são diferenciáveis em a , quais as condições sobre f garantem que g seja diferenciável em a ?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dado algumas situações de derivação e temos que julgar em quais condições tal situação é verdadeira.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

A primeira situação nos diz que se f + g são diferenciáveis em a , então f e g são necessariamente diferenciáveis em a .

Para responder essa pergunta temos que olhar para as propriedades das derivadas.

Pela propriedade da soma, sabemos que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, ou seja

d f + g d x = d f d x + d g d x

Portanto, sim! Se f + g são diferenciáveis em a , então f e g são necessariamente diferenciáveis em a .

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Agora na segunda situação temos que f · g e f são diferenciáveis em a , quais as condições sobre f garantem que g seja diferenciável em a .

Temos a derivada de um produto, então o resultado é obtido a partir da regra do produto, ou seja

d f · g d x = d f d x · g + f · d g d x

Vamos isolar d g d x para ver o que podemos encontrar...

f · d g d x = d f · g d x - d f d x · g

d g d x = d f · g d x - d f d x · g f  

Já foi dito que f · g e f são diferenciáveis em a porém, para g ser derivável em a , f a tem que ser uma constante diferente de 0 para que a fração d f · g d x - d f d x · g f exista.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

1. f + g são diferenciáveis em a , então f e g são necessariamente diferenciáveis em a .

2. f a tem que ser uma constante diferente de 0 .

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