Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

6. Sabeno que o ponto 1 , - 1 pertence à curva x 2 y + a y 2 = b e que a equação da reta tangente à curva nesse ponto é dada por 3 y + 2 x = - 1 , determine a e b .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que encontrar a equação da reta tangente de uma função. Para quem não lembra, a equação da reta tangente tem essa cara aqui:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, ( x 0 , y 0 ) é a coordenada da função onde passa a reta tangente e y ' x 0 é a derivada no ponto que ela passa.

O enunciado nos forneceu a seguinte função,

x 2 y + a y 2 = b

E nos forneceu x 0 = 1 , y 0 = - 1 e a equação da reta tangente. Então vamos usar essas informações tentar descobrir quem é a e b .

Bora aplicar!

Passo 2

Para construir a nossa equação da reta tangente, vamos precisar derivar a nossa função para encontrar o termo y ' x 0 .

x 2 y + a y 2 = b

Mas repara que temos uma função implícita (ou seja, y não esta isolado) para derivar. E quando derivamos implicitamente, derivamos em função de x e em função de y . Porém, os termos obtidos a partir da derivação de y são acompanhados y ' .

Derivando a nossa função implicitamente, ficamos com,

2 x y + x 2 y ' + 2 a y y ' = 0

Isolando y ' ,

y ' = - 2 x y x 2 + 2 a y

Mas queremos encontrar o nosso y ' x 0 . Então temos que substituir as nossas variáveis por x 0 e y 0 (que são as coordenadas do ponto que a nossa reta tangente corta).

y ' x 0 = - 2 1 - 1 1 2 + 2 a - 1 = 2 1 - 2 a

Agora vamos achar a nossa reta tangente em função de a .

Passo 3

Tinhamos que,

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Substituindo pelos termos que encontramos acima: x 0 = 1 , y 0 = - 1 e y ' x 0 = 2 1 - 2 a Ficamos com

y + 1 = 2 1 - 2 a x - 1

y = 2 x - 3 + 2 a 1 - 2 a

Agora vamos comparar essa informação com a equação fornecida pelo o enunciado.

Passo 4

O enunciado nos forneceu a equação da reta tangente,

3 y + 2 x = - 1

Isolando y , ficamos com

y = - 2 x - 1 3

Além disso, nós encontramos a seguinte equação,

y = 2 x - 3 + 2 a 1 - 2 a

Igualando as duas,

- 2 x - 1 3 = 2 x - 3 + 2 a 1 - 2 a

Comparando os coefientes angulares (termo que acompanha x ),

- 2 x 3 = 2 x 1 - 2 a

- 1 - 2 a = 3

a = 2

Agora vamos encontrar b .

Passo 5

Para determiner b , vamos usar a nossa função original,

x 2 y + a y 2 = b

Substituindo o ponto 1 , - 1

1 2 - 1 + a - 1 2 = b

- 1 + a = b

Como a = 2 , temos que

- 1 + 2 = b

b = 1

Resposta

a = 2

b = 1

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