Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Seja P 0 um ponto da curva y 2 + y = 2 x tal que a reta tangente em P 0 faz um ângulo de 30 º com o eixo x . Quais são as coordenadas de P 0 ?

Passo 1

Bora lá achar essas coordenadas. Pra isso, vamos lembrar que a equação de uma reta tangente é dada por:

y - y 0 = a x - x 0

Onde:

P 0 = x 0 , y 0

a = y ' x 0

Como temos informações sobre a inclinação da reta tangente, vamos focar no valor de a , beleza? Afinal, é exatamente isso que essa letra representa! Como não dá pra derivar y explícitamente, vamos derivar implicitamente mesmo (em relação a x ):

y 2 + y = 2 x

2 y y ' + y ' = 2

y ' 2 y + 1 = 2

E logo:

a = y ' x 0 = 2 2 y x 0 + 1

Ok, mas e daí? Como isso ajuda? Bem, pensa comigo, sabemos o ângulo, e sabemos que inclinações de retas são a tangente desse ângulo. Oras! Então temos tudo que precisamos

a = t g 30 º = 3 3

Juntando os dois resultados:

y ' x 0 = 2 2 y x 0 + 1 = 3 3

2 y x 0 + 1 = 6 3 = 6 3 3 = 2 3

2 y x 0 = 2 3 - 1

y x 0 = 2 3 - 1 2

O que é o mesmo que:

y x 0 = y 0 = 2 3 - 1 2

Passo 2

Beleza, achamos a coordenada y do ponto de tangência. Falta a x . Pra isso, podemos simplesmente pegar a equação da curva e trocar y por y 0 e x por x 0 . Saca só como fica:

y 0 2 + y 0 = 2 x 0

2 3 - 1 2 2 + 2 3 - 1 2 = 2 x 0

12 - 4 3 + 1 4 + 4 3 - 2 4 = 2 x 0

12 - 4 3 + 1 + 4 3 - 2 4 = 2 x 0

11 4 = 2 x 0

Por fim:

x 0 = 11 8

O ponto de tangência terá as coordenadas:

P 0 = 11 8 , 2 3 - 1 2

Passo 3

Esse passo ta aqui só pra eu mostrar pra vocês o quão lindo não fica graficamente isso tudo :D

Resposta

P 0 = 11 8 , 2 3 - 1 2

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