Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Encontre a equação da reta tangente `a curva de equação x 4   +   x y 3   +   y 6   =   1 no ponto (1, −1).

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a equação da reta tangente à curva y ( x ) no ponto ( x 0 ,   y 0 ) = ( 1 ,   - 1   ) , sabemos que essa equação é dada por

L ( x ) = y ' ( x 0 ) x   + b  

sendo b o ponto que a reta intercepta o eixo y. Como no ponto ( x 0 ,   y 0 ) a função e a reta coincidem, podemos usar a relação para encontrar o valor de b :

y 0 = y ' ( x 0 ,   y 0 ) x 0 + b

b = y 0 - y ' ( x 0 ,   y 0 ) x 0 .

Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos tomar a derivada da função, para isso vamos usar a derivação implícita, pois seria complicado isolar y:

d d x ( x 4   +   x y 3   +   y 6 )   = d ( 1 ) d x  

d x 4 d x   +   d x d x y 3 + x d y 3 d x   + d y 6 d x   = 0

4 x 3   +   y 3 + 3 x y 2 y '   + 6 y 5 y '   = 0

Então, vamos isolar y ’

y ' = 4 x 3   +   y 3 3 x y 2   + 6 y 5

Tomando seu valor no ponto ( 1 , - 1 )

y ' ( 1 ,   - 1 )   = 4 - 1 3   - 6 = 3 - 3 = - 1 .

Passo 3

Assim, podemos encontrar o valor de b ,

- 1 = ( - 1 ) 1 + b

b = 0 .

Então, a equação da reta tangente à função no ponto ( 1 , - 1 ) será:

L ( x ) = - x  

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L ( x ) = - x .

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