Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

3. Encontre uma equação da reta tangente à curva 16 x 4 + y 4 = 32 no ponto 1,2 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que encontrar a equação da reta tangente de uma função. Para quem não lembra, a equação da reta tangente tem essa cara aqui:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, ( x 0 , y 0 ) é a coordenada da função onde passa a reta tangente e y ' x 0 é a derivada no ponto que ela passa.

O enunciado nos forneceu a seguinte função,

16 x 4 + y 4 = 32

E quer a reta tangente no ponto 1,2 , ou seja, x 0 = 1 e y 0 = 2 . Agora temos que encontrar y ' x 0 ,

Mas repara que temos uuma função implícita (ou seja, y não esta isolado) para derivar. E quando derivamos implicitamente, derivamos em função de x e em função de y . Porém, os termos obtidos a partir da derivação de y são acompanhados y ' .

Bora aplicar!

Passo 2

Derivando a nossa função implicitamente, ficamos com,

64 x 3 + 4 y 3 y ' = 0

Isolando y ' ,

y ' = - 64 x 3 4 y 3 = - 16 x 3 y 3

Mas queremos encontrar o nosso y ' x 0 . Então temos que fazer x = 1 e y = 2 , pois são as coordenadas do ponto que queremos.

Logo,

y ' x 0 = - 16 1 3 2 3 = - 16 8 = - 2

Agora vamos voltar para equação da reta tangente!

Passo 3

Tinhamos a seguinte expressão geral

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Substituindo os dados encontrados, ficamos com

y - 2 = - 2 x - 1

y - 2 = - 2 x + 2

y = - 2 x + 4

Prontinho!

Resposta

y = - 2 x + 4

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