Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

2. Determine todos os pontos P sobre a curva definida pela equação x 2 y 2 + x y = 2 para os quais a reta tangente à curva no ponto P é paralela à reta de equação y = - x + 1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver esse problema envolvendo a reta tangente de uma curva temos que lembrar que essa reta tangente precisa satisfazer a seguinte equação,

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde x 0 e y 0 são as coordenadas onde essa reta tagente toca acurva, e é exatamente isso que o problema nos pede para encontrar!

Agora, repara também que para acharmos a reta tagente, precisamos da derivada de y no ponto x 0 , ou seja, precisamos achar y ' x 0 .

Então bora achar a função y ' .

Passo 2

O primeiro passo para acharmos y ' é derivar implicitamente! Temos a seguinte função,

x 2 y 2 + x y = 2

Agora vamos derivar em função de x , aplicando a regra do produto em cada termo e lembrando que y = y x

2 x y 2 + x 2 2 y y ' + y + x y ' = 0

Ajeitando a equação ficamos com

2 x y 2 + y + 2 x 2 y + x y ' = 0

Até agora estamos trabalhando com a função. Mas, como queremos y ' no ponto x 0 , y 0 , vamos substituir as coordenadas do ponto x 0 , y 0

2 x 0 y 0 2 + y 0 + 2 x 0 2 y 0 + x 0 y ' = 0

Agora estamos no ponto, então esse y ' que aparece é justamente o y ' x 0 . Precisamos descobrir esse termo pra substituir aí. E você vai ver o truque que vamos fazer agora pra achar y ' x 0 .

Passo 3

Para encontrar quem é y ' ( x 0 ) temos que nos atentar a uma informação muito importante do enunciado: ele nos diz que a reta tangente é pararela a reta y = - x + 1 .

Ou seja, se as retas são paralelas, elas possuem o mesmo coeficiente angular. No caso da reta y = 1 - x , o coeficiente angular é - 1 .

Mas vamos lembrar bem rapidinho da equação geral de qualquer reta y = a x + b . Se a gente derivar, a gente ve que a derivada é justamente o coeficiente angular, olha: y ' = a .

Então y ' ( x 0 ) é o coeficiente angular da reta tangente:

y ' x 0 = - 1

Como isso, nossa equação ficará assim

2 x 0 y 0 2 + y 0 + 2 x 0 2 y 0 + x 0 - 1 = 0

2 x 0 y 0 2 + y 0 - 2 x 0 2 y 0 - x 0 = 0

x 0 2 y 0 2 - 1 = y 0 2 x 0 2 - 1

x 0 y 0 = 2 x 0 2 - 1 2 y 0 2 - 1

Logo, temos a relação ente x 0 e y 0 :

x 0 = y 0

Agora precisamos achar que valor tem x 0 e y 0 .

Para isso, vamos substituir essa informação da equação original!

Passo 4

O problema nos forneceu,

x 2 y 2 + x y = 2

E já achamos que

x 0 = y 0

Substituindo na equação, ficamos com

x 0 2 x 0 2 + x 0 x 0 = 2

x 0 4 + x 0 2 = 2

x 0 = ± 1

Deste modo temos que x 0 = 1 e y 0 = 1 . Ou, x 0 = - 1 e y 0 = - 1 .

Logo, os pontos P sobre a curva definida pela equação x 2 y 2 + x y = 2 para os quais a reta tangente à curva no ponto P é paralela à reta de equação y = - x + 1 são:

P 1 = 1,1

P 2 = - 1 , - 1

Prontinho! Vamos para próxima!

Resposta

P 1 = 1,1

P 2 = - 1 , - 1

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