Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a leminiscata de equação x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2 (figura ao lado). Determine os quatro pontos da leminiscata em que as retas tangentes são horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes são verticais.

Passo 1

Falaeee, beleza?? Seguinte... primeiramente derivaremos implicitamente:

x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2 ∴

x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 - x 2 - y 2 = 0 ∴

4 x 3 + 4 x y 2 + 4 x 2 y y ' + 4 y 3 y ' - 2 x + 2 y y ' = 0

Passo 2

Nos pontos em que a tangente é horizontal, y ' = 0 . Assim, temos:

4 x 3 + 4 x y 2 - 2 x = 0 ∴

2 x 2 x 2 + 2 y 2 - 1 = 0

Dessa expressão, desconsiderando o resultado x = 0 e y = 0 , temos:

2 x 2 + 2 y 2 - 1 = 0 ∴

y = ± 1 2 - x 2

Passo 3

Substituindo esses valores de y na função original, temos que:

x 2 + 1 2 - x 2 2 = x 2 - 1 2 + x 2 ∴

x = ± 6 4

E, para cada valor de x , temos que y é:

  • Para x = 6 4 : y = ± 2 4   ;
  • Para x = - 6 4 : y = ± 2 4 .

Dessa forma, temos os pontos cuja reta tangente é a horizontal:

  • 6 4 , - 2 4 ;
  • 6 4 , 2 4 ;
  • - 6 4 , 2 4 ;
  • - 6 4 , - 2 4 ;
  • Passo 4

    Já para que a tangente seja vertical, vemos, pelo gráfico, que y obrigatoriamente deve ser igual a 0 . Assim, temos que:

    x 2 + 0 2 2 = x 2 - 0 2 ∴

    x 2 x 2 - 1 = 0

    Desconsiderando x = 0 , temos:

    x 2 - 1 = 0 ∴

    x = ± 1

    Portanto, os pontos em que a tangente é vertical, são:

    • 1,0 ;
    • - 1,0 .
    • Entendeu direitinho?? Responde Aí haha

      Resposta

      Pontos da horizontal:

    • 6 4 , - 2 4 ;
    • 6 4 , 2 4 ;
    • - 6 4 , 2 4 ;
    • - 6 4 , - 2 4 ;

    Pontos na vertical:

  • 1,0 ;
  • - 1,0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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