Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da equação dada por:

x 2 y 3 = 2 y + x - 1,1

Passo 1

Legal, vamos então ter que calcular a reta tangente no ponto - 1,1 , ou seja, em x = - 1 e y = 1 . A equação geral da reta é:

y - y 0 = y ' x - x 0

Onde y ' é a derivada de y no ponto de tangência. Assim, no ponto do problema:

y - 1 = y ' x + 1

Passo 2

Para determinar esse y ' , vamos derivar implicitamente, lembrando que derivamos o y normalmente e multiplicamos o resultado por y ' . Pela regra do produto:

x 2 y 3 = 2 y + x ⟹ x 2 y 3 ' = 2 y + x ' ⟹ 2 x ⋅ y 3 + x 2 ⋅ 3 y 2 y ' = 2 y ' + 1

Isolando y ' :

3 x 2 y 2 y ' - 2 y ' = - 2 x y 3 + 1 ⟹ 3 x 2 y 2 - 2 y ' = - 2 x y 3 + 1

y ' = - 2 x y 3 + 1 3 x 2 y 2 - 2

Achamos a expressão da derivada, agora, a deriva no ponto - 1,1 é verificada simplesmente substituindo esses pontos na expressão: y ' = - 2 ⋅ - 1 ⋅ 1 3 + 1 3 1 2 1 2 - 2 = 3 1 = 3

Passo 3

Assim sendo, a nossa equação da reta vai ficar:

y - 1 = y ' x + 1 ⟹ y - 1 = 3 x + 1

Deixando bonitinho com y isolado:

y = 3 x + 3 + 1 ⟹ y = 3 x + 4

Pronto!

Resposta

y = 3 x + 4

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