Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva da figura ao lado conhecida como cissóide de Diócles cuja equação é 2 - x y 2 = x 3 .

b) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico da curva nos pontos em que x = 3 2 .

Passo 1

Falaeee, beleza?? Seguinte... quando x = 3 2 , temos os seguintes valores para y :

2 - 3 2 y 2 = 3 2 3 ∴

y 2 = 6,75 ∴

y = ± 1,5 3

Passo 2

Para esses dois valores de y , podemos determinar os coeficientes angulares:

Para y 1 ' :

4 ∙ 1,5 3 y 1 ' - 1,5 3 2 - 2 ∙ 3 2 ∙ 1,5 3 y 1 ' - 3 3 2 2 = 0 ∴

6 3 y 1 ' - 6,75 - 4,5 3 y 1 ' - 6,75 = 0 ∴

y 1 ' = 3 3

Para y 2 ' é o mesmo cálculo, mas com o sinal invertido. Assim, temos que:

y 2 ' = - 3 3

Passo 3

Com os coeficientes e pontos, podemos encontrar as retas:

Para 3 2   ; 1,5 3 e y ' = 3 3 :

y = a x + b ∴

1,5 3 = 3 3 ∙ 3 2 + b ∴

b = - 3 3  

Logo, y = 3 3 x - 3 3

E, para 3 2   ; - 1,5 3 e y ' = - 3 3 :

y = a x + b ∴

- 1,5 3 = - 3 3 ∙ 3 2 + b ∴

b = 3 3  

Assim, y = - 3 3 x + 3 3

Entendeu direitinho?? Responde Aí haha

Resposta

y = 3 3 x - 3 3

y = - 3 3 x + 3 3

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