Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

4 . Seja f : R → R uma função inversível e diferenciável tal que f 7 = 13 e f ' 7 = 6 . Então a equação da reta tangente ao gráfico da função inversa f - 1 em ( 13 ,   7 ) é:

A : y = - 29 + 6 x

B : y = 71 6 + 1 6 x

C : y = 55 6 + 1 6 x

D : y = 29 6 + 1 6 x

E : y = - 71 + 6 x

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Temos que encontrar a função inversa de f , o enunciado nos dá duas informações f 7 = 13 e f ' 7 = 6 .

Olhando as alternativas só temos funções f - 1 lineares, logo f é linear e de forma geral tem a seguinte forma:

f x = a x + b

Então temos que achar a e b e depois inverter essa função e ver a alternativa correta.

Passo 2

Para podermos achar a e b , vamos usar as informações do enunciado, temos:

f 7 = 13 = a 7 + b

⇒ 13 = 7 a + b

Agora:

f ' 7 = 6

Onde

f ' x = a

Assim:

a = 6

Agora que sabemos o valor de a podemos achar b , temos:

13 = 7 ( 6 ) + b

⇒ b = - 29

Então nossa função é dada por:

f x = 6 x - 29

Passo 3

Agora vamos inverter a função que encontramos, temos:

x = 6 y - 29

⇒ 6 y = x + 29

⇒ y = x 6 + 29 6

Comparando com as alternativas, temos que a correta é a letra D .

Resposta

D : y = 29 6 + 1 6 x

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