Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva definida pela equação x 3 - y 3 + x y = 9 . Calcule y ' e encontre a equação da reta tangente a curva no ponto ( 2 ,   1 ) .

Passo 1

Sabemos que o coeficiente angular da reta tangente em um ponto é igual a derivada da função naquele ponto. Como a função não foi dada na forma explicita, vamos derivar implicitamente para obter a derivada em função de x .

3 x 2 - 3 y 2 y ' + y + x y ' = 0

- 3 y 2 y ' + x y ' = - 3 x 2 - y

y ' ( x - 3 y 2 ) = - 3 x 2 - y

y ' = - 3 x 2 - y x - 3 y 2

Como queremos o valor de y ' no ponto ( 2 ,   1 ) vamos substituir x = 2 e y = 1 na expressaõ da derivada:

y ' ( 2 ) = - 3 ( 2 ) ² - 1 2 - 3 ( 1 ) 2

y ' ( 2 ) = - 12 - 1 2 - 3

y ' ( 2 ) = - 1 3 - 1

y ' ( 2 ) = 13

Passo 2

A equação da reta tangente à curva em um ponto qualquer ( a ,   b ) é

y   -   b   =   y ' ( a ) ( x   -   a )

Nesse caso, o ponto é ( 2 ,   1 ) . Substituindo y 2 = 1 e y ' 2 = 13 obtemos a equação da reta tangente:

y   - 1   =   13 ( x - 2 )

y   - 1   =   13 x - 2 6

y   =   13 x - 2 5

Resposta

y   =   13 x - 25

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