Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Passo 1

Repara, se queremos a reta tangente à curva dada no ponto 0,0 , significa que ela passa nesse ponto aí. Bom, com isso a gente já sabe que se a reta for modelada por y = a x + b , o seu coeficiente linear b vai valer 0 . Afinal, aplicando o ponto na reta, teríamos:

0 = a 0 + b → b = 0

Assim, basta achar a derivada de y no ponto dado e usá-la como a para ter a nossa reta y = a x , onde temos

a = y ' 0,0

Passo 2

Derivamos a função implícita agora usamos a Regra da Cadeia e do Produto:

sec ⁡ x y ' + x e y 2 ' = ln ⁡ x 2 + y 4 + 1 ' + y ' + 1 '

sec ⁡ x y tg ⁡ x y x y ' + x ' e y 2 + x e y 2 ' = x 2 + y 4 + 1 ' x 2 + y 4 + 1 + y ' + 0

sec ⁡ x y tg ⁡ x y x ' y + x y ' + e y 2 + x e y 2 y 2 ' = 2 x + 4 y 3 x 2 + y 4 + 1 + y '

sec ⁡ x y tg ⁡ x y y + x y ' + e y 2 + x e y 2 2 y y ' = 2 x + 4 y 3 y ' x 2 + y 4 + 1 + y '

Passo 3

Agora, aplicando x , y = 0,0 , teremos:

sec ⁡ 0 tg ⁡ 0 0 + 0 y ' + e 0 2 + 0 e 0 2 2 0 y ' = 2 0 + 4 0 3 y ' 0 2 + 0 4 + 1 + y '

0 + 1 + 0 = 0 1 + y '

y ' = 1

Logo, a reta será:

y = 1 x

y = x

Resposta

y = x

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28. Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - 4 y ² = 12 ² , ( 2,1 ) (elipse)