Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

1b) Encontre a equação da reta tangente à curva dada por y 3 + x y + x 2 = cos ⁡ x y , no ponto 0,1 .

Passo 1

Vamo que vamo. Temos a equação de uma curva mas com um pequeno probleminha: não da pra isolar o y . Agora, da uma olhada na equação da reta tangente:

y - y x 0 = y ' x 0 x - x 0

Seja x 0   ,   y x 0 o ponto de tangência, vamos ter

x 0   ,   y x 0   = 0   ,   y 0 = 0   ,   1

E logo:

y - y 0 = y ' x 0 x - 0

y - 1 = y ' x 0 x

y = y ' x 0 x + 1

Ok, mas como achar agora nem y ' x 0 pra terminar de modelar a equação? Não podemos derivar explicitamente! Mas isso impede a gente de derivar implicitamente? Não mesmo! Então derivando implicitamente em relação a x temos:

y 3 + x y + x 2 ' = cos ⁡ x y '

3 y 2 y ' + x y ' + 2 x = - sen ⁡ x y ∙ x y '

3 y 2 y ' + x ' y + x y ' + 2 x = - sen ⁡ x y ∙ x ' y + x y '

O que dá, finalmente:

3 y 2 y ' + y + x y ' + 2 x = - sen ⁡ x y ∙ y + x y '

Ok, mas pra que isso? Veja bem, sabemos o ponto de tangência! Seja x 0   ,   y x 0 = 0   ,   y 0 = 0   ,   1 , vamos ter:

3 y 2 y ' + y + x y ' + 2 x = - sen ⁡ x y ∙ y + x y '

3   y x 0 2 y ' x 0 +   y x 0 + x 0 y ' x 0 + 2 x 0 = - sen ⁡ x 0   y x 0 ∙   y x 0 + x 0 y ' x 0

3   y 0 2 y ' 0 +   y 0 + 0 ∙ y ' 0 + 2 ∙ 0 = - sen ⁡ 0 ∙   y x 0 ∙   y 0 + 0 ∙ y ' x 0

O que dá:

3   1 2 y ' 0 +   1 = - sen ⁡ 0 ∙   1

3 y ' 0 +   1 = 0

3 y ' 0 = - 1

y ' 0 = - 1 3

Show de bola! Fechamos então! Vamos ter:

y = y ' x 0 x + 1

y = - x 3 + 1

Resposta

y = - x 3 + 1

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