Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

4. Determine uma reta que seja paralela à reta y = - x + 1 e que seja tangente à curva x 2 + x y + y 2 = 3 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que encontrar a equação da reta tangente de uma função. Para quem não lembra, a equação da reta tangente tem essa cara aqui:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, ( x 0 , y 0 ) é a coordenada da função onde passa a reta tangente e y ' x 0 é a derivada no ponto que ela passa.

O enunciado nos forneceu a seguinte função,

x 2 + x y + y 2 = 3

Porém eles não nos forneceu os pontos da curva. Mas nos disse uma equação cuja a nossa reta tangente é paralela, então vamos comparar as duas para resolver esse problema.

Bora aplicar!

Passo 2

Para construir a nossa equação da reta tangente, vamos precisar derivar a nossa função para encontrar o termo y ' x 0 .

x 2 + x y + y 2 = 3

Mas repara que temos uma função implícita (ou seja, y não esta isolado) para derivar. E quando derivamos implicitamente, derivamos em função de x e em função de y . Porém, os termos obtidos a partir da derivação de y são acompanhados y ' .

Derivando a nossa função implicitamente, ficamos com,

2 x + y + x y ' + 2 y y ' = 0

Isolando y ' ,

y ' = - 2 x + y x + 2 y

Mas queremos encontrar o nosso y ' x 0 . Então temos que substituir as nossas variáveis por x 0 e y 0 (que são as coordenadas do ponto que a nossa reta tangente corta).

y ' x 0 = - 2 x 0 + y 0 x 0 + 2 y 0

Agora vamos comparar esse resultado com o que o enunciado forneceu!

Passo 3

O enunciado nos disseuma informação muito valiosa! Que a nossa reta tangente é paralela a reta y = - x + 1 . Então temos que o coeficiente angular dessa reta é - 1 .

E para quem não lembra, se as retas são paralelas, elas possuem o mesmo coeficiente angular.

Agora repara que o nosso termo, y ' x 0 é, justamente, o coeficiente angular da nossa equação da reta. Logo,

y ' x 0 = - 2 x 0 + y 0 x 0 + 2 y 0 = - 1

Agora precisamos saber quem é x 0 e y 0 .

Passo 4

Para descobrir as nossas coordenadas, vamos precisar montar um sistema.

A primeira equação nós tiramos da função fornecida pelo enunciado. Pois se x 0 , y 0 representam um ponto na curva. Temos que a seguinte equação é verdade:

x 0 2 + x 0 y 0 + y 0 2 = 3

A segunda equação nós tiramos do Passo 3, pela expressão do coeficiente angular:

- 2 x 0 + y 0 x 0 + 2 y 0 = - 1

2 x 0 + y 0 = x 0 + 2 y 0

Ajeitando,

x 0 = y 0

Opaaa! Já podemos substituir essa igualdade na função dada pelo problema:

x 0 2 + x 0 x 0 + x 0 2 = 3

3 x 0 2 = 3

x 0 = ± 1

Ou seja, y 0 = ± 1 .

Agora vamos voltar para equação original da nossa reta tangente!

Passo 5

Tinhamos que,

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Substituindo pelos termos que encontramos acima: x 0 = - 1 , y 0 = - 1 e y ' x 0 = - 1 . Ficamos com

y + 1 = - 1 x + 1

y = - x - 2

Mas repra que x 0 e y 0 também podem ser positivos (vimos essa possibilidade no passo anterior). Então também podemos ter:

y - 1 = - 1 x - 1

y = - x + 2

Resposta

y = - x - 2

y = - x + 2

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