Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva definida pela equação x 4 - y 4 + 12 x y = 7 . Calcule y ' e encontre a equação da reta tangente a curva no ponto ( 2,3 ).

Passo 1

Então pessoal, vamos dar uma olhada nessa equação que o enunciado deu:

x 4 - y 4 + 12 x y = 7

De cara ela já traz um problema: o y e o x estão misturados na função! Isso quer dizer que a derivada y ' que queremos calcular está implícita:

y ' = d y d x

O primeiro passo pra calcular essa derivada implícita é simplesmente derivar os dois lados e relação a x :

d d x x 4 - y 4 + 12 x y = d d x 7

Do lado direito, a derivada da constante vai dar zero, então:

d d x x 4 - y 4 + 12 x y = 0

E do lado esquerdo, a gente pode separar em três derivadas:

d d x x 4 - d d x y 4 + d d x 12 x y = 0

Beleza, vamos olhar pra cada uma dessas derivadas.

Passo 2

A derivada de x 4 é mais fácil, a gente pode usar as regras de sempre:

d d x x 4 = 4 x 4 - 1 = 4 x 3

Ok, agora a derivada de y 4 é um pouco mais perigosa. A variável da função é o y , mas estamos derivando em relação a x .! Temos que lembrar da regra da cadeia:

d d x f y = d f d y d y d x

Então:

d d x y 4 = d y 4 d y d y d x

d d x y 4 = 4 y 3 d y d x

Ok, por enquanto estamos assim:

d d x x 4 - d d x y 4 + d d x 12 x y = 0

4 x 3 - 4 y 3 d y d x + d d x 12 x y = 0

Passo 3

Ali naquele último termo, a gente precisa primeiro usar a regra do produto normalmente:

d d x 12 x y = 12   y d d x x + x d d x y

O primeiro termo do parênteses é tranquilo, porque estamos derivando x em relação a x :

d d x 12 x y = 12   y + x d y d x

O segundo vai ficar por ali mesmo, não tem como simplificar mais. Então, voltando na expressão lá de cima:

4 x 3 - 4 y 3 d y d x + d d x 12 x y = 0

4 x 3 - 4 y 3 d y d x + 12   y + x d y d x = 0

Beleza, vamos escrever d y d x como y ' , pra simplificar a notação:

4 x 3 - 4 y 3 y ' + 12   y + x y ' = 0

Agora já deve dar pra isolar o y ' . Primeiro vamos colocar ele em evidência:

4 x 3 - 4 y 3 y ' + 12 y + 12 x y ' = 0

y ' 12 x - 4 y 3 + 12 y + 4 x 3 = 0

Arrumando um pouco essa expressão:

y ' = - 4 x 3 - 12 y 12 x - 4 y 3

Pronto! Já resolvemos a primeira parte do problema.

Passo 4

Agora a gente quer calcular a inclinação da reta que é tangente à curva no ponto 2,3 .

Só lembrando, a curva é essa aqui:

x 4 - y 4 + 12 x y = 7

E a reta tangente tem que ter uma equação dessa forma aqui:

y = a x + b

O coeficiente angular a é simplesmente a derivada y ' que acabamos de calcular. Vamos ver qual o valor dela no ponto 2,3 :

y ' = - 4 x 3 - 12 y 12 x - 4 y 3

y ' 2,3 = - 4 2 3 - 12 3 12 2 - 4 3 3 = - 32 - 36 24 - 108 = 68 84

Simplificando um pouco a fração:

y ' 2,3 = 17 21

Então por enquanto a equação é:

y = 17 21 x + b

Passo 5

E agora fica faltando calcular b . A gente pode fazer isso usando o ponto 2,3 :

y = 17 21 x + b

3 = 17 21 2 + b

b = 3 - 34 21 = 63 - 34 21 = 29 21

Então:

y = 17 21 x + 29 21

Pronto! Essa é a equação da reta tangente à curva naquele ponto.

Resposta

A derivada implícita é y ' = - 4 x 3 - 12 y 12 x - 4 y 3 , e a equação da reta tangente à curva no ponto 2,3 é y = 17 21 x + 29 21 .

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