Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva definida pela equação x 3 - y 2 + 5 x y = 7 .

  1. Calcule y ' .
  2. Encontre a equação da reta tangente a curva no ponto 1,3 .

Passo 1

Show, vamos começar! A gente não tem y = y x explícito pra derivar. Mas relaxa que dá pra derivar implicitamente também! Pra isso, basta pegar a equação da curva e derivar dos dois lados em relação a x .

d x 3 - y 2 + 5 x y d x = d 7 d x

3 x 2 - 2 y y ' + 5 x y ' + 5 y = 0

Ajeitando:

y ' 5 x - 2 y + 5 y + 3 x 2 = 0

y ' 5 x - 2 y = - 5 y + 3 x 2

y ' = - 5 y + 3 x 2 5 x - 2 y

Passo 2

Partiu então falar de reta tangente. Pra isso, vamos lembrar da equação:

y = y ' x 0 x - x 0 + y 0

Onde P = x 0 , y 0 é o ponto de tangência e y ' x 0 é a inclinação da reta tangente no ponto de tangência. Pô, temos tudo pra modelar essa equação! Como o enunciado dá P = 1,3 ...

y = y ' 1 x - 1 + 3

E do resultado do passo 1 , achamos a inclinação da reta tangente:

y ' x 0 = - 5 y 0 + 3 x 0 2 5 x 0 - 2 y 0

y ' 1 = - 5 . 3 + 3 . 1 2 5 . 1 - 2 . 3

y ' 1 = - 15 + 3 5 - 6 = - 18 - 1 = 18

Feshow então! A equação final vai ser:

y = 18 x - 1 + 3

Resposta

y ' = - 5 y + 3 x 2 5 x - 2 y

y = 18 x - 1 + 3

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