Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Determine a equação da reta tangente à curva 2 x 2 + y 2 6 = 64 x + y no ponto ( 1,0 ) .

Passo 1

Escolher a equação da reta

Quando caímos numa questão de reta tangente, a primeira coisa que deve piscar na nossa cabeça é: opa, preciso saber a equação da reta! Tem duas possíveis:

y = a x + b

y - y 0 = m x - x 0

Nós vamos usar aqui a segunda, beleza? Isso porque o ponto x 0 , y 0 é um ponto de tangência e como isso é dado do problema, já ficamos com:

y = m x - 1

Falta só lembrar quem é o m . O valor de m nada mais é do que a derivada de y x no ponto de tangência. Logo:

y = y ' 1 x - 1

Passo 2

Realizar derivada implícita

Seria bem mais fácil se tivéssemos uma função y x bem definida, não é? Como não é o caso, vamos partir pra derivação implícita mesmo. Derivando dos dois lados por em relação a x , temos:

2 x 2 + y 2 6 = 64 x + y

d 2 x 2 + y 2 6 d x = d 64 x + y d x

6 2 x 2 + y x 2 5 4 x + 2 y x y ' x = 64 + y ' x

No ponto de tangência 1,0 , vamos ter:

6 2.1 2 + y 1 2 5 4.1 + 2 y 1 y ' 1 = 64 + y ' 1

Opa, da pra simplificar isso, vamos lembrar que:

y 1 = 0

y ' 1 = m

Partiu então:

6 2 + 0 2 5 4 + 2.0 . m = 64 + m

6.4 . 2 5 = 64 + m

768 = 64 + m

m = 704

Passo 3

Montar a equação da reta e olhar que lindo não fica no gráfico

Agora que sabemos o valor de m , basta colocar ele na equação da reta, que vai ficar então:

y = 704 x - 1

Graficamente, temos:

Olha só! Olha lá! A reta tangente é quase que vertical nessa imagem! Admite, comprovação gráfica deixa tudo mais bonito!

Resposta

y = 704 x - 1

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