Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

Ver Teoria

Enunciado

Determine a equação da reta tangente à curva e x 2 y = 2 x + 2 y no ponto em que x = 0 .

Passo 1

A equação geral da reta tangente no ponto x = 0 será:

y - y 0 = y ' 0 x - 0

Então, para determinar a reta precisamos calcular y 0 e y ' 0 . Para o primeiro, só substituir x = 0 no ponto.

e 0 ⋅ y 0 = 2 ⋅ 0 + 2 y 0 ⟹ e 0 = 2 y 0 ⟹ y 0 = 1 2

Passo 2

Resta calcular y ' 0 agora. Para tal derivamos implicitamente, usando a regra da cadeia e produto na exponencial: e x 2 y ' = 2 x + 2 y '

e x 2 y 2 x y + x 2 y ' = 2 + 2 y '

No ponto x = 0 : e 0 2 ⋅ 0 ⋅ 1 2 + 0 ⋅ y ' = 2 + 2 y ' 0 ⟹ y ' 0 = - 1

Passo 3

Agora já temos tudo que a gente precisa: y - 1 2 = - x ⟹ y = 1 2 - x

Resposta

y = 1 2 - x

Exercícios de Livros Relacionados

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)
Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse x 2 + 4 y 2 = 36 que passem pelo ponto ( 12 ,3 ) .
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
28. Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - 4 y ² = 12 ² , ( 2,1 ) (elipse)