Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Encontre a equação da reta tangente à curva:

2 x 3 - x 2 y + y 3 - arctan ⁡ x y = 1

No ponto 0,1 .

Passo 1

A equação geral da reta tangente num ponto x 0 , y 0 é:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

No ponto 0,1 :

y - 1 = y ' 0 x ⟹ y = y ' 0 x + 1

Então, para determiná-la, precisamos encontrar y ' 0 .

Passo 2

Para tal, vamos derivar implicitamente a curva:

2 x 3 - x 2 y + y 3 - arctan ⁡ x y = 1

2 x 3 - x 2 y + y 3 - arctan ⁡ x y ' = 1 ' = 0

Sendo:

2 x 3 ' = 6 x 2

Pela regra do produto:

x 2 y ' = 2 x y + x 2 y '

E:

y 3 ' = 3 y 2 y '

E, finalmente, pela regra da cadeia, com u = x y :

arctan ⁡ x y ' = d arctan ⁡ u d u ⋅ d u d x

Sendo:

d arctan ⁡ u d u = 1 1 + u 2 = 1 1 + x 2 y 2

E, pela regra do produto:

x y ' = y + x y '

Ficando:

arctan ⁡ x y ' = y + x y ' 1 + x 2 y 2

Substituindo tudo na expressão da derivada e usando a propriedade da derivada de soma: 6 x 2 + 2 x y + x 2 y ' + 3 y 2 y ' - y + x y ' 1 + x 2 y 2 = 0

Passo 3

Nem precisamos isolar y ' agora. Só substituir 0,1 :

6 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 + 0 y ' + 3 ⋅ 1 ⋅ y ' - 1 + 0 ⋅ y ' 1 + 0 ⋅ 1 = 0

3 y ' - 1 = 0     ⟹     y ' 0 = 1 3

Agora, substituindo na expressão da reta tangente que achamos no passo 1

y = y ' 0 x + 1 ⟹ y = 1 3 x + 1

Resposta

y = 1 3 x + 1

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