Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Encontre a equação da reta tangente à curva cissóide de Diocles

y 2 2 - x = x 3

No ponto 1,1 .

Passo 1

Bom, assim como qualquer reta tangente à uma curva, tendo y em função de x , o coeficiente angular a , se a reta for modelada por y = a x + b vale a derivada y ' no ponto em questão. Substituindo o ponto na equação da reta podemos descobrir o coeficiente linear.

Vamos derivar essa curva estranha aí usando Regra do Produto, da Cadeia e a derivação Implícita:

y 2 2 - x ' = x 3 '

y 2 ' 2 - x + y 2 2 - x ' = 3 x 2

2 y y ' 2 - x + y 2 - 1 = 3 x 2

2 y y ' 2 - x = 3 x 2 + y 2

y ' = 3 x 2 + y 2 2 y 2 - x

Passo 2

Então, o a da nossa reta valerá y ' 1,1 , o que substituindo vai dar o seguinte:

a = 3 1 2 + 1 2 2 1 2 - 1 = 3 + 1 2 1 1

= 4 2 = 2

Esse é o coeficiente angular. Para descobrir o b , o linear, substituímos:

y = a x + b → 1 = 2 1 + b

b = - 1

Nossa reta é, portanto, y = 2 x - 1 .

Resposta

y = 2 x - 1

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