Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 209-58. MODIFICADO

Encontre pontos na curva x ² + x y + y 2 = 7 onde a tangente é paralela (a) ao eixo x e (b) ao eixo y .

Passo 1

a ) A reta é paralela ao eixo x , ou seja, horizontal. Se a reta é horizontal:

y ' = 0

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Passo 2

Precisamos determinar qual o valor de x = x 0 tal que isso seja verdade.

Sabemos que y ' = 0 . Então vamos derivar implicitamente para igualar a esse valor: x 2 + x y + y 2 = 7 2 x + y + x y ' + 2 y y ' = 0 y ' x + 2 y = - 2 x - y

Assim: y ' = - 2 x + y 2 y + x

Passo 3

Quando y ' = 0 , no ponto x = x 0 :

0 = 2 x 0 + y ( x 0 ) 2 y ( x 0 ) + x 0 2 x 0 + y x 0 = 0 y x 0 = - 2 x 0

Passo 4

Substituindo na equação:

x 2 + x y + y 2 = 7 x 0 2 + x 0 y x 0 + y 2 x 0 = 7 x 0 2 - 2 x 0 2 + 4 x 0 2 = 7

x 0 = ± 7 3

Nesses pontos, a reta tangente será horizontal.

Passo 5

b ) Quando a reta é paralela ao eixo y , a derivada não pode existir, ou seja, o denominador deve ser 0 .

2 y x 1 + x 1 = 0 y x 1 = - x 1 2

Passo 6

Substituindo na equação:

x 2 + x y + y 2 = 7 x 1 2 + x 1 y x 1 + y 2 x 1 = 7 x 1 2 - x 1 2 2 + x 1 2 4 = 7

x 1 = ± 28 3

Nesses pontos, a reta tangente será vertical.

Resposta

a ) ± 7 3

b ) ± 28 3

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