Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Seja y = f x uma função derivável dada implicitamente pela equação

x 2 + y 2 2 = 25 3 y 2 - x 2

A reta tangente ao gráfico de f no ponto - 1 , - 2 é paralela à reta de equação:

  1. 11 x - y = 0
  2. 11 x - 2 y + 3 = 0
  3. x - 2 y + 3 = 0
  4. x + 2 y - 3 = 0
  5. 11 x + 2 y - 3 = 0

Passo 1

Pra gente começar essa questão, vamos dar uma olhada na equação genérica de uma reta tangente:

y = a x - x 0 + y 0

Nela, temos a = y ' x 0 como o coeficiente angular da reta e P = x 0 , y 0 como o ponto de tangência. Veja bem, retas paralelas possuem o mesmo valor de a ! Como sabemos o ponto de tangência, conseguimos calcular o valor de a . Afinal:

P = x 0 , y 0 = - 1 , - 2

x 0 = - 1

y 0 = - 2

a = y ' x 0 = y ' - 1

Bem, não dá pra derivar y de forma explícita mas de forma implícita rola. Derivando então em relação à x : x 2 + y 2 2 = 25 3 y 2 - x 2

x 2 + y 2 2 ' = 25 3 y 2 - x 2 '

2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 ' = 25 3 y 2 ' - x 2 '

2 x 2 + y 2 x 2 ' + y 2 ' = 25 3 2 y y ' - 2 x

2 x 2 + y 2 2 x + 2 y y ' = 25 3 2 y y ' - 2 x

Aplicando a distributiva:

4 x x 2 + y 2 + 4 y y ' x 2 + y 2 = 50 3 y y ' - 50 3 x

E rearranjando pra por o y ' em evidência:

4 y y ' x 2 + y 2 - 50 3 y y ' = - 4 x x 2 + y 2 - 50 3 x

y ' 4 y x 2 + y 2 - 50 3 y = - 4 x x 2 + y 2 - 50 3 x

y ' = - 4 x x 2 + y 2 - 50 3 x 4 y x 2 + y 2 - 50 3 y

Passo 2

Agora pra achar a = y ' x 0 = y ' - 1 basta substituir x = x 0 = - 1 e y = y 0 = - 2 . Só pra não confundir, vamos fazer pro x primeiro:

a = - 4 - 1 - 1 2 + y 2 - 50 3 - 1 4 y - 1 2 + y 2 - 50 3 y

a = 4 1 + y 2 + 50 3 4 y 1 + y 2 - 50 3 y

Agora pro y :

a = 4 1 + - 2 2 + 50 3 4 . - 2 . 1 + - 2 2 - 50 3 . - 2 = 4 1 + 4 + 50 3 - 8 . 1 + 4 + 10 0 3 = 4 . 5 + 50 3 - 8 . 5 + 100 3 = 20 + 50 3 - 40 + 100 3

a = 60 3 + 50 3 - 120 3 + 100 3 = 110 3 - 20 3 = - 110 20 = - 11 2

Passo 3

Pronto, achamos o valor de a ! Mas nesse enunciado não da pra ver direito o valor de a das opções porque ele não está explícito. Vamos rearrumar as equações então para achar o a delas. Começando pela letra A em diante, temos:

A )   11 x - y = 0         →         y = 11 x     →         a = 11

B )   11 x - 2 y + 3 = 0         →         2 y = 11 x + 3         →         y = 11 2 x + 3 2         →         a = 11 2

C )   x - 2 y + 3 = 0         →         2 y = x + 3         →         y = 1 2 x + 3 2         →         a = 1 2

D )   x + 2 y - 3 = 0         →         2 y = - x + 3         →         y = - 1 2 x + 3 2         →         a = - 1 2

E )   11 x + 2 y - 3 = 0         →         2 y = - 11 x + 3         →         y = - 11 2 x + 3 2         →         a = - 11 2

A letra que tem o valor de a igual ao que achamos é a letra E

Resposta

L e t r a   E

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