Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Seja l a reta tangente à curva dada pela equação

x 2 3 + y 2 3 = 4

No ponto 2 2 , 2 2 . Calcule a área do triângulo formado por l e os eixos coordenados.

Veja abaixo uma figura ilustrativa:

Passo 1

Vamos traçar o plano para resolver essa questão: primeiro encontramos a reta tangente, descobrimos os lados do triângulo (nos interceptos dos eixos), então calculamos sua área.

Como qualquer reta tangente, essa terá coeficiente angular dado pela derivada y ' no ponto tratado. Para derivar a curva aí a gente vê que temos que usar a derivação implícita no termo y 2 3 , depois disso é só substituir direto o ponto tratado:

x 2 3 ' + y 2 3 ' = 4 '

2 3 x - 1 3 + 2 3 y - 1 3 y ' = 0

Substituindo o ponto x , y = 2 2 , 2 2 :

2 3 2 2 - 1 3 + 2 3 2 2 - 1 3 y ' = 0

2 3 1 2 + 2 3 1 2 y ' = 0

y ' = - 1

Então, modelando a reta tangente por y = a x + b vemos que seu coeficiente angular a valerá - 1 . Para descobrir o coeficiente linear basta substituir a equação no ponto trabalhado, 2 2 , 2 2 :

y = a x + b → 2 2 = - 1 2 2 + b

b = 4 2

A reta tangente ao ponto 2 2 , 2 2 é y = - x + 4 2 .

Passo 2

Procuramos agora onde a reta toca cada eixo, o que corresponde a cada um dos lados do triângulo. O coeficiente linear é o valor de y no ponto em que a função toca o eixo y . Assim, o lado horizontal do triângulo será:

y = - 1 0 + 4 2 → y = 4 2

No ponto onde a reta toca o eixo x temos y = 0 . Assim:

0 = - x + 4 2 → x = 4 2

Achamos o mesmo valor para os dois lados. Como a área do triângulo é dada pela metade do produto entre a altura e a base, ficamos assim:

A = 4 2 4 2 2 = 16   u .   a .

Resposta

A = 16   u . a .

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