Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

Considere um átomo de hidrogênio em repouso com massa total M H . Suponha que o elétron deste átomo passou do primeiro estado excitado para o estado de energia mais baixa, através da emissão de um fóton. Utilize o modelo de Bohr para responder os itens abaixo. Forneça seus resultados apenas em termos de h , c , da massa de repouso do elétron m 0 e da constante de Rydberg R H .

(a) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido.

(b) Ao emitir o fóton, o átomo de H deve recuar na direção oposta para que haja conservação de momento. A velocidade de recuo V do átomo de H é muito menor do que a velocidade da luz c . Calcule V .

(c) Se o fóton emitido for espalhado por um elétron em repouso, qual será o maior valor possível λ m a x do seu comprimento de onda?

Passo 1

A energia do elétron num nível n é dada por

E n = - h c R H n 2

O estado de mais baixa energia corresponde a n = 1 e o primeiro estado excitado corresponde a n = 2 . A energia do fóton emitido será a diferença entre os dois níveis.

E f ó t o n = E 2 - E 1 = - h c R H 1 4 - 1 = 3 4 h c R H

Dessa forma o comprimento de onda do fóton vai ser dado por

λ = h c E f ó t o n = 4 3 R H

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aqui temos a informação de que a velocidade de recuo do átomo de H é muito menor do que a velocidade da luz ( V ≪ c ). Assim não precisamos usar correções relativísticas!

Desta forma, então, o momento linear adquirido pelo átomo de H será em módulo igual ao momento do fóton (já que antes da emissão o sistema estava em repouso). Assim

p f ó t o n = p H

E f ó t o n c = M H V

V = 3 h R H 4 M H

Passo 3

Agora vamos aproveitar esse nosso fóton emitido pelo átomo de hidrogênio e vamos jogar em cima de um elétron que tá em repouso de boa na lagoa.

Nós já ouvimos falar de uma situação parecida com essa. Esse seria o espalhamento Compton. Nesse caso o fóton seria espalhado pelo elétron e teria seu comprimento de onda mudado de λ para λ ' . A equação que relaciona esses dois comprimentos de onda é

λ ' = λ + h m 0 c 1 - cos ⁡ θ

Para que λ ' seja máximo é necessário que cos ⁡ θ seja mínimo, ou seja - 1 . Assim teremos o maior comprimento de onda possível dado por

λ m a x = λ + 2 h m 0 c = 4 3 R H + 2 h m 0 c

Resposta

  1. λ = 4 3 R H
  2. V = 3 h R H 4 M H
  3. λ m a x = λ + 2 h m 0 c = 4 3 R H + 2 h m 0 c

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas