Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

No Modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, o elétron descreve uma órbita circular ao redor do núcleo atômico; as órbitas possíveis obedecem à quantização do momento angular, L = n ℏ   ( n = 1 ,   2 ,   3 , … ) .

a) Mostre que a quantização do momento angular leva à quantização do raio das órbitas permitidas e em particular que o raio do estado fundamental é a 0 = ℏ 2 m e k e e 2 .

b) Fótons com energias de 10,20   e V e 13,06   e V são bombardeados sobre átomos de H induzindo transições eletrônicas a níveis mais excitados. Determine, para essa duas energias dos fótons incidentes, qual é o estado final ( n ) da transição induzida.

c) O Modelo de Bohr, apesar de encontrar corretamente os níveis de energia, não explica uma série de outros fenômenos associados ao átomo de H. Um deles é o decaimento espontâneo: estados excitados decaem a outros de energia mais baixa após um curto período de tempo. Seja um processo de emissão espontânea em que um átomo emite um fóton com λ = 520   n m em um intervalo de tempo Δ t = 2,00 × 10 - 10   s . Determine a incerteza associada ao comprimento de onda desse fóton. (Dica: de E = h f , determine a derivada d E d λ ≈ Δ E Δ λ ).

Passo 1

a) Da teoria, lembramos:

F E = F C

k E e 2 r 2   = m e v 2 r

v 2 = k E e 2 m e r

Pela quantização do momento angular, temos:

l = n ℏ = m e v r

v = n ℏ m e r

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Passo 2

Substituindo na expressão para v 2 , temos:

n ℏ m e r 2 = k E e 2 m e r

r = n 2 ℏ 2 k E e 2 m e

Com n = 1 encontramos o raio de Bohr:

r = 1 2 ℏ 2 k E e 2 m e = a 0

a 0 = ℏ 2 k E e 2 m e

Passo 3

b) Da teoria, lembramos que:

1 λ = R 1 n 1 2 - 1 n 2 2

Lembramos também que:

E = h c λ

1 λ = E h c

Substituindo na primeira equação:

E h c = R 1 n 1 2 - 1 n 2 2

Passo 4

E = R h c 1 n 1 2 - 1 n 2 2 = 1,097 × 10 7 × 4,14 × 10 - 15 × 3 × 10 8 1 n 1 2 - 1 n 2 2

E = 13,6 1 n 1 2 - 1 n 2 2

Com n = 1 e para cada valor da energia, temos:

Para 10,20   e V :

10,2 = 13,6 1 1 - 1 n 2 2

n 2 = 2

Para 13,06   e V :

13,06 = 13,6 1 1 - 1 n 2 2

n 2 = 5

Passo 5

c) Da teoria, lembramos que:

Δ t . Δ E ≥ ℏ 2

Lembramos também que:

E = h c λ

Derivando essa última equação, temos:

d E = - h c λ 2 d λ

De acordo com o enunciado podemos escrever:

Δ E = - h c λ 2 Δ λ

Substituindo na primeira equação, temos:

Δ t . - h c λ 2 Δ λ ≥ ℏ 2

Δ λ ≥ - ℏ λ 2 2 h c Δ t = - λ 2 4 π c Δ t

Δ λ ≥ - λ 2 4 π c Δ t = - 520 × 10 - 9 4 π × 3 × 10 8 × 2 × 10 - 10 = - 0,356   p m

Δ λ ≥ 0,356   p m

Resposta

Letra (b): n 2 = 2 e n 2 = 5

Letra (c): Δ λ ≥ 0,356   p m

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