Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

Modelo Atômico de Bohr, Origens da Teoria Quântica

Um múon possui uma carga elétrica igual à carga do elétron, porém sua massa é 207 vezes maior do que a massa do elétron.

Considere um átomo semelhante ao átomo de hidrogênio constituído por um próton e um múon.

a ) Calcule a energia do estado fundamental.

b ) Calcule o comprimento de onda eletromagnética emitida na transição de nível n = 2 para n = 1 .

c ) Calcule o momento linear do fóton emitido na transição do item anterior.

Passo 1

a ) Calcule a energia do estado fundamental.

A energia em um nível qualquer de energia é dada por:

E n = - Z 2 E 0 n 2

Onde:

E 0 = 1 2 m k 2 e 4 ℏ 2

A energia no estado fundamental é a energia para o caso em que n = 1 . Logo:

E 1 = - Z 2 E 0

O número atômico Z representa a quantidade de prótons presentes no núcleo. Por exemplo, no átomo de hidrogênio Z = 1 .

Como a carga do múon é igual à carga do elétron e o átomo em que estamos de olho é semelhante ao átomo de hidrogênio, podemos afirmar que, para o átomo com o múon, Z = 1 . Logo:

E 1 = - E 0

Substituindo a expressão de E 0 na expressão acima, teremos:

E 1 = - 1 2 m k 2 e 4 ℏ 2

Aqui nós temos duas escolhas, uma delas é substituir o valor de cada uma dessas constantes e jogar tudo na calculadora. A segunda é partir do seguinte princípio: segundo o enunciado, a única diferença do múon para o elétron é que m m = 207 m e .

Nós sabemos que, para o átomo de hidrogênio:

E 1 = - 1 2 m e k 2 e 4 ℏ 2 = - 13,6   e V

Onde a massa que usamos nessa fórmula é a massa do elétron. Se simplesmente substituirmos a massa do múon na expressão de E 1 , teremos, para o átomo com o múon:

E 1 = - 1 2 m m k 2 e 4 ℏ 2

E 1 = - 1 2 207 m e k 2 e 4 ℏ 2

E 1 = - 207 × 1 2 m e k 2 e 4 ℏ 2

E 1 = - 207 × 13,6

E 1 = - 207 × 13,6

E 1 = - 2815,2   e V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Calcule o comprimento de onda eletromagnética emitida na transição de nível n = 2 para n = 1 .

A energia em cada nível será dada por:

E n = - Z 2 E 0 n 2

Usando as considerações e resultados que encontramos na letra a , podemos reescrever essa equação dessa forma:

E n = - 2815,2 n 2

Para n = 1 :

E 1 = - 2815,2   e V

Para n = 2 :

E 2 = - 2815,2 2 2 = - 2815,2 4

E 2 = - 703,8   e V

Passo 3

Quando o há a transição do estado 2 para o estado 1, o fóton emitido deve possuir energia igual à diferença de energia entre esses níveis, logo:

E f = E 2 - E 1

E f = - 703,8 - - 2815,2

E f = - 703,8 + 2815,2

E f = 2111,4   e V

A energia do fóton está associado ao seu comprimento de onda através da relação:

E f = h f = h c λ

λ = h c E f

Onde:

h c = 1240   e V . n m → h c = 1,24 × 10 - 6   e V . m

E f = 2111,4   e V

Substituindo esses valores, teremos:

λ = 1,24 × 10 - 6 2111,4

λ = 5,87 × 10 - 10   m

λ = 0,587   n m

Passo 4

c ) Calcule o momento linear do fóton emitido na transição do item anterior.

O momento linear de um fóton é dado por:

p = h λ

Onde:

h = 6,62 × 10 - 34   J . s

λ = 5,87 × 10 - 10   m

Portanto:

p = 6,62 × 10 - 34 5,87 × 10 - 10

p = 1,13 × 10 - 24   k g . m / s  

Resposta

a )

E 1 = - 2815,2   e V

b )

λ = 0,587   n m

c )

p = 1,13 × 10 - 24   k g . m / s

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