Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

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Enunciado

Determine, com o modelo de Bohr, a velocidade v de um elétron que ocupa o primeiro nível excitado no átomo de Hidrogênio, em termos da constante de estrutura fina α = e 2 2 ϵ 0 h c , a qual vale aproximadamente 1 137 .

a) α c 4 .

b) α c 2 .

c) α c .

d) 2 α c

e) 4 α c .

Passo 1

Da teoria, lembramos:

F E = F C

1 4 π ϵ 0 e 2 r 2   = m e v 2 r

Pela quantização do momento angular, temos:

l = n ℏ = m e v r

r = n ℏ m e v

Passo 2

Substituindo dentro da primeira, temos:

1 4 π ϵ 0 e 2 m e v n ℏ 2 = m e v 2 m e v n ℏ

v = e 2 4 π ϵ 0 n ℏ = 1 2 n π ℏ × e 2 2 ϵ 0  

Lembrando que ℏ = h 2 π , temos

v = 1 n h × e 2 2 ϵ 0 = 1 n × e 2 2 ϵ 0 h

Passo 3

Agora fazemos o seguinte:

α = e 2 2 ϵ 0 h c

c α = e 2 2 ϵ 0 h

Com isso substituímos na equação para velocidade:

v = 1 n ×   c α

Passo 4

Como n = 2 , temos:

v = α c 2

Resposta

Letra (b) α c 2 .

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