Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

USP – Física 4 – 2019 – P2 – Exercício 3ab

Considere o modelo de Bohr para um íon monoeletrônico com número atômico Z . Neste caso, um elétron de massa m e carga - e move-se numa órbita circular de raio r em torno de um núcleo fixo de carga + Z e .

a) Partindo da segunda lei de Newton determine o módulo da velocidade do elétron v em função do raio da órita r .

b) Utilizando a quantização do momento angular, deduza a energia do íon num estado estacionário caracterizado pelo número quântica n .

As respostas devem ser dadas apenas em termos do número quântico n , do número atômico Z e das constantes fundamentais e , massa do elétron m , ϵ 0 e .

Passo 1

Oieeeee, vamos resolver mais uma questão de prova da POLI? Essa é uma questão muito legal sobre átomo de Bohr: vamos derivar a equação para energia de um íon com um único elétron e número atômico Z .

No item (a) nós vamos usar a famosa segunda lei de Newton:

F = m a

No caso, a força resultante é a força de atração entre as cargas - e e + Z e , enquanto a aceleração é a aceleração centrípeta

a = v 2 r

Portanto,

F = 1 4 π ϵ 0   Z e ⋅ e r 2 = m v 2 r

Logo,

v 2 = Z e 2 4 π ϵ 0 1 m r

Tirando a raiz:

v = Z e 2 4 π ϵ 0 1 m r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O item (a) foi bem simples, agora vamos para o item (b)! Primeiro temos que lembrar que o momento angular de uma corpo de massa m executando um movimento circular de raio r e velocidade v é

l = m r v

Aplicando a quantização do momento angular, temos que

l = n ℏ

Foi exatamente isso que Bohr fez para obter o espectro de energias do átomo de hidrogênio! Assim,

m r v = n ℏ ⇒ r = n ℏ m v

Usando o resultando do item (a) para a velocidade, temos que

r = n ℏ m ⋅ 1 Z e 2 4 π ϵ 0 1 m r 1 / 2

Portanto,

r = n ℏ m ⋅ 4 π ϵ 0 m r Z e 2 1 / 2

Elevando a equação ao quadrado:

r 2 = n 2 ℏ 2 m 2 ⋅ 4 π ϵ 0 m r Z e 2 ⇒ r = 4 π ϵ 0 ℏ 2 Z e 2 m   n 2

Temos assim uma expressão para o raio da n-ésima órbita possível.

Passo 3

Como queremos achar a energia do sistema, vamos lembrar que ela pode ser dividida em uma energia cinética K e uma energia potencial U :

E = K + U

A energia cinética é

K = 1 2 m v 2

Usando o resultando do item (a):

K = 1 2 m ⋅ Z e 2 4 π ϵ 0 1 m r = 1 2 ⋅ Z e 2 4 π ϵ 0 ⋅ 1 r

Já para a energia potencial, temos que

U = 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r = 1 4 π ϵ 0 Z e ⋅ ( - e ) r = - Z e 2 4 π ϵ 0 ⋅ 1 r

Portanto, a energia total será

E = 1 2 ⋅ Z e 2 4 π ϵ 0 ⋅ 1 r - Z e 2 4 π ϵ 0 ⋅ 1 r = - Z e 2 8 π ϵ 0 ⋅ 1 r

Passo 4

Agora só falta usar a expressão de r encontrada no passo 2:

r = 4 π ϵ 0 ℏ 2 Z e 2 m   n 2 ⇒ 1 r = Z e 2 m 4 π ϵ 0 ℏ 2 1 n 2

Assim,

E = - Z e 2 8 π ϵ 0 ⋅ Z e 2 m 4 π ϵ 0 ℏ 2 1 n 2

Juntando tudo temos que

E = - m 2 ℏ 2 Z e 2 4 π ϵ 0 2 1 n 2

Eu sei que essas contas são bem chatas e dão trabalho, mas pense no quão bonitinho esse resultado é! Com uma continha simples usando mecânica clássica e impondo o quantização do momento angular nós obtemos uma expressão fechadinha e bonitinha para as energia do átomo de hidrogênio que concordam muito bem com a experiência! Física é incrível 😊

Resposta

a) v = Z e 2 4 π ϵ 0 1 m r

b) E = - m 2 ℏ 2 Z e 2 4 π ϵ 0 2 1 n 2

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