Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

Origem do Exercício

No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, um elétron de carga - e e massa m percorre uma órbita circular em torno de um núcleo de carga + e .

  1. Deduza a expressão clássica para a velocidade v do elétron em função de e , m , ϵ 0 e do raio r da órbita.
  2. Usando a regra de Bohr para a quantização do momento angular do elétron, deduza a expressão para os raios r n , n = 1 , 2,3 , … correspondentes às órbitas permitidas do átomo de hidrogênio.
  3. Um átomo de hidrogênio no primeiro estado excitado ( n = 2 ) efetua uma transição para o estado fundamental ( n = 1 ) emitindo um fóton. Dado que o átomo de hidrogênio estava inicialmente em repouso, calcule sua velocidade após a transição.

Passo 1

Letra a)

Para o elétron em movimento circular uniforme, teríamos a força elétrica agindo como uma força centrípeta.

F c p = F e l

m v 2 r = k e 2 r 2

v = k e 2 m r

Mas a constante da força elétrica (lei de Coulomb) é:

k = 1 4 π ϵ 0

Assim:

v = e 2 4 π ϵ 0 ∙ m r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

A regra de Bohr para a quantização do momento angular do elétron é:

m v r n = n h 2 π = n ℏ

Podemos elevar tudo ao quadrado e obter

m 2 v 2 r n 2 = n 2 h 2 4 π 2

Substituindo a velocidade encontrada no item anterior.

m 2 r n 2 ∙ e 2 4 π ϵ 0 ∙ m r n = n 2 h 2 4 π 2

Rearrumando:

r n = h 2 ϵ 0 π m e 2 ∙ n 2

Passo 3

Letra c)

Podemos usar a conservação do momento linear. O momento linear inicial é zero, pois o átomo está em repouso, e depois será a soma do momento do fóton emitido e do átomo.

0 = p f ó t o n + p H = E c + m H v H

A energia do átomo de Bohr é:

E n = - 13,6 n 2   e V = - 2,2 ∙ 10 - 18 n 2   J

Na transição 2 → 1 , a energia do fóton emitido vai ser:

E = Δ E n = 2,2 ∙ 10 - 18 ∙ 1 - 1 2 2 = 2,2 ∙ 10 - 18 ∙ 1 - 0,25 ≅ 1 , 7 ∙ 10 - 18   J

Assim:

m H v H = - E c

v H = - 1,7 ∙ 10 - 18 m H c   m / s

A massa do átomo de hidrogênio é m H = 1,7 ∙ 10 - 27   k g e a velocidade da luz é c = 3 ∙ 10 8   m / s . Além disso, o sinal apenas representa que a velocidade do átomo será oposta à do fóton. Se olharmos apenas a magnitude da velocidade, podemos usar o valor absoluto.

v H = 1,7 ∙ 10 - 18 1,7 ∙ 10 - 27 ∙ 3 ∙ 10 8 ≅ 3,3   m / s

Resposta

Letra a)

v = e 2 4 π ϵ 0 ∙ m r

Letra b)

r n = h 2 ϵ 0 π m e 2 ∙ n 2

Letra c)

v H ≅ 3,3   m / s

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