Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

USP, Física 4, P3 - 2014, Questão Q2

No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, um elétron de carga Equation e massa Equation percorre uma órbita circular em torno de um núcleo de carga Equation .

  1. Deduza a expressão clássica para a velocidade Equation do elétron em função de Equation , Equation , Equation e do raio Equation da órbita.
  2. Usando a regra de Bohr para a quantização do momento angular do elétron, deduza a expressão para os raios Equation , Equation correspondentes às órbitas permitidas do átomo de hidrogênio.
  3. Um átomo de hidrogênio no primeiro estado excitado ( Equation ) efetua uma transição para o estado fundamental ( Equation ) emitindo um fóton. Dado que o átomo de hidrogênio estava inicialmente em repouso, calcule sua velocidade após a transição.

Passo 1

Letra a)

Para o elétron em movimento circular uniforme, teríamos a força elétrica agindo como uma força centrípeta.

Equation

Equation

Equation

Mas a constante da força elétrica (lei de Coulomb) é:

Equation

Assim:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

A regra de Bohr para a quantização do momento angular do elétron é:

Equation

Podemos elevar tudo ao quadrado e obter

Equation

Substituindo a velocidade encontrada no item anterior.

Equation

Rearrumando:

Equation

Passo 3

Letra c)

Podemos usar a conservação do momento linear. O momento linear inicial é zero, pois o átomo está em repouso, e depois será a soma do momento do fóton emitido e do átomo.

Equation

A energia do átomo de Bohr é:

Equation

Na transição Equation , a energia do fóton emitido vai ser:

Equation

Assim:

Equation

Equation

A massa do átomo de hidrogênio é Equation e a velocidade da luz é Equation . Além disso, o sinal apenas representa que a velocidade do átomo será oposta à do fóton. Se olharmos apenas a magnitude da velocidade, podemos usar o valor absoluto.

Equation

Resposta

Letra a)

Equation

Letra b)

Equation

Letra c)

Equation

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