Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

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Enunciado

O múon é uma partícula elementar com a mesma carga do elétron e , mas com uma massa M 200 vezes maior. No modelo de Bohr para átomos hidrogenóides, o múon executa movimento circular uniforme em uma órbita estável de raio r tal que o módulo do momento angular L obedece a regra de quantização L = n ℏ . As demais grandezas seguem das relações da mecânica clássica. Despreze os efeitos relativísticos. De posse dessa informação, determinar para cada órbita:

(a) a velocidade do múon

(b) o raio da órbita e a energia total do múon

(c) Suponha que o múon faça uma transição do nível n = 4 para n = 1 com emissão de um fóton. Calcule a diferença de momento angular do múon.

Passo 1

(a) Vamos aplicar F = M a ao movimento circular uniforme do múon.

A única força que atua sobre o múon é a força elétrica dada por:

F = F e l = e 2 4 π ε 0 r 2

A aceleração é:

a = v 2 r

Substituindo:

e 2 4 π ε 0 r 2 = M v 2 r

e 2 4 π ε 0 = M v 2 r

e 2 4 π ε 0 = M v r v

Mas:

L = M v r = n ℏ

Então:

e 2 4 π ε 0 = L v = n ℏ v

Portanto:

e 2 4 π ε 0 = n ℏ v

v = 1 ℏ n e 2 4 π ε 0

Passo 2

(b) Vamos começar calculando o raio da órbita do múon.

Vimos no Passo 1 que:

e 2 4 π ε 0 = M v 2 r

Multiplicando o numerador e o denominador do lado direito por M r :

e 2 4 π ε 0 = M V r 2 M r

Mas L = M v r = n ℏ , então:

e 2 4 π ε 0 = L 2 M r = n 2 ℏ 2 M r

r = 4 π ε 0 n 2 ℏ 2 M e 2

Substituindo M = 200 m :

r = π ε 0 n 2 ℏ 2 50 m e 2

Para calcular a energia do múon, vamos usar que:

E = K + P

Onde K é a energia cinética do múon, dada por:

K = 1 2 m v 2

E P é a energia potencial elétrica do múon:

P = - q 1 q 2 4 π ε 0 r = - e 2 4 π ε 0 r

Mas achamos antes que:

r = π ε 0 n 2 ℏ 2 50 m e 2

Então:

P = - e 2 4 π ε 0 π ε 0 n 2 ℏ 2 50 m e 2

P = - 50 m e 4 4 π 2 ε 0 2 n 2 ℏ 2

Mas:

v = 1 ℏ n e 2 4 π ε 0

Então:

P = - 50 m 4 v 2 = - M v 2

Logo:

E = 1 2 M v 2 - M v 2 = - 1 2 M v 2

E = - 100 m n 2 ℏ 2 e 2 4 π ε 0 2

Passo 3

(c) De acordo com o modelo atômico de Bohr, o momento angular do múon obedece:

L = n ℏ

Antes da transição, o momento angular é então:

L a n t e s = 4 ℏ

E depois da transição:

L d e p o i s = 1 ℏ

Logo, a diferença entre esses momentos angulares é:

L a n t e s - L d e p o i s = 4 ℏ - 1 ℏ = 3 ℏ

Resposta

(a) v = 1 ℏ n e 2 4 π ε 0

(b) r = π ε 0 n 2 ℏ 2 50 m e 2

E = - 100 m n 2 ℏ 2 e 2 4 π ε 0 2

(c) 3 ℏ

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