Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

UFRJ, Física 4, P2 - 2009.2, Questão 4

Um múon possui uma carga elétrica igual à carga do elétron, porém sua massa é Equation vezes maior do que a massa do elétron.

Considere um átomo semelhante ao átomo de hidrogênio constituído por um próton e um múon.

Equation Calcule a energia do estado fundamental.

Equation Calcule o comprimento de onda eletromagnética emitida na transição de nível Equation para Equation .

Equation Calcule o momento linear do fóton emitido na transição do item anterior.

Passo 1

Equation Calcule a energia do estado fundamental.

A energia em um nível qualquer de energia é dada por:

Equation

Onde:

Equation

A energia no estado fundamental é a energia para o caso em que Equation . Logo:

Equation

O número atômico Equation representa a quantidade de prótons presentes no núcleo. Por exemplo, no átomo de hidrogênio Equation .

Como a carga do múon é igual à carga do elétron e o átomo em que estamos de olho é semelhante ao átomo de hidrogênio, podemos afirmar que, para o átomo com o múon, Equation . Logo:

Equation

Substituindo a expressão de Equation na expressão acima, teremos:

Equation

Aqui nós temos duas escolhas, uma delas é substituir o valor de cada uma dessas constantes e jogar tudo na calculadora. A segunda é partir do seguinte princípio: segundo o enunciado, a única diferença do múon para o elétron é que Equation .

Nós sabemos que, para o átomo de hidrogênio:

Equation

Onde a massa que usamos nessa fórmula é a massa do elétron. Se simplesmente substituirmos a massa do múon na expressão de Equation , teremos, para o átomo com o múon:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Calcule o comprimento de onda eletromagnética emitida na transição de nível Equation para Equation .

A energia em cada nível será dada por:

Equation

Usando as considerações e resultados que encontramos na letra Equation , podemos reescrever essa equação dessa forma:

Equation

Para Equation :

Equation

Para Equation :

Equation

Equation

Passo 3

Quando o há a transição do estado 2 para o estado 1, o fóton emitido deve possuir energia igual à diferença de energia entre esses níveis, logo:

Equation

Equation

Equation

Equation

A energia do fóton está associado ao seu comprimento de onda através da relação:

Equation

Equation

Onde:

Equation

Equation

Substituindo esses valores, teremos:

Equation

Equation

Equation

Passo 4

Equation Calcule o momento linear do fóton emitido na transição do item anterior.

O momento linear de um fóton é dado por:

Equation

Onde:

Equation

Equation

Portanto:

Equation

Equation

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

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