Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia de Partículas

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Enunciado

Um cilindro maciço de raio R e massa M tem I z = 1 2 M R 2 . Utilizando este resultado, calcule o momento de inércia de um cilindro uniforme vazado de massa M , de raio interno R 1 e externo R 2 , em relação ao eixo z [veja a figura 2.12 ].

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que para um cilindro maciço de raio R e massa M o momento de inércia é dado por

I z = 1 2 M R 2

No entanto, queremos utilizar este resultado para estimar o momentum de inércia no caso em que a massa é distribuída em um cilindro vazado de raio interno R 1 e raio externo R 2 , assim como podemos ver na figura

Para resolver este problema vamos usar o princípio de superposição! Ou seja, considerando que o buraco no interior é um cilindro de massa negativa, podemos calcular o momentum de inércia como

I z = I c o m p l e t o - I b u r a c o

mas para isso vamos precisar avaliar a massa em cada “cilindro”! Saca só!

Passo 2

Se a massa M for distribuída uniformemente ao longo de todo o sólido! Temos que a massa do exterior será dada por

M c o m p l e t o = ρ   V c o m p l e t o

Mas como encontramos esta densidade? Sabemos que a massa está distribuída sobre a casca cilíndrica de massa M , o seu volume é dado por

V c a s c a = π ( R 2 2 - R 1 2 )   h

em que h é a altura do cilindro. Desta maneira, temos que a densidade será

ρ = M π ( R 2 2 - R 1 2 ) h

Vamos usar isso para calcular a nossa massa!

Passo 3

Usando o volume do sólido completo como

V c o m p l e t o = π R 2 2   h

temos que a massa será

M c o m p l e t o = M π ( R 2 2 - R 1 2 ) h π R 2 2   h = M   R 2 2 R 2 2 - R 1 2

Da mesma forma, podemos escrever a massa interna como

M i n t e r i o r = M   R 1 2 R 2 2 - R 1 2

De forma que usando a fórmula

I z = 1 2 M R 2

Podemos obter pelo princípio de superposição que

I z = 1 2 M   R 2 2 R 2 2 - R 1 2 R 2 2 - 1 2 M   R 1 2 R 2 2 - R 1 2 R 1 2 = 1 2 M ( R 2 2 - R 1 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

I z = 1 2 M ( R 2 2 - R 1 2 )

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