Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia de Partículas

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Enunciado

A figura abaixo mostra um sistema de quatro partículas unidas por barras de massa desprezível rígidas. Suponha que a = b e M seja maior do que m . Considere momentos de inércia em relação aos eixos cartesianos indicados na figura I x ,   I y ,   I z , como se comparam os momentos de inércia?

Escolha uma:

  1. I x = I y < I z
  2. I x > I y > I z
  3. I x = I y = I z
  4. I y < I x < I z
  5. I z < I x < I y
  6. I x = I y > I z
  7. I x < I y < I z
  8. I x < I z < I y

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

Essa questão é sobre momento de inércia de uma massa pontual e pra isso, precisamos lembrar como se calcula:

I = M R 2

Onde R é a distância da massa até o eixo de rotação, beleza?

Passo 2

Se esse sistema girar em torno do eixo z as quatro massas vão contabilizar para o momento de inércia. A distância da massa M até o eixo de rotação é a e da massa m aé o eixo é b , assim o momento de inércia para o eixo z é:

I z = 2 M a 2 + 2 m b 2

Como a = b temos:

I z = 2 a 2 ( M + m )

Certo?

Passo 3

E para o eixo y ?

As massas que estão sobre esse eixo, não irão contribuir para o momento de inércia, pois elas estarão sobre o eixo de rotação (e, portanto, com R = 0 ). A distância da massa M até o eixo y é a . Então o momento de inércia para o eixo y é:

I y = 2 M a 2

Tranquilo?

Passo 4

E para o eixo x ?

Levando em conta que o eixo x está girando, agora são as partículas M que não contabilizam para o cálculo do momento de inércia, uma vez que elas estão sobre o eixo de rotação.

A distância da massa m até o eixo x é b . Assim o momento de inércia para o eixo x é:

I x = 2 m b 2

Passo 5

Agora vou contabilizar os resultados:

I z = 2 a 2 ( M + m )

I y = 2 M a 2

I x = 2 m b 2

Como a = b , podemos reescrever o momento de inércia de x para fazermos a comparação:

I z = 2 a 2 ( M + m )

I y = 2 M a 2

I x = 2 m a 2

Sabendo que M > m , então fica claro que a ordem dos momentos de inércia é:

I z > I y > I x

Ou melhor:

I x < I y < I z

Analisando as alternativas, a correta é a (g).

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

( g )

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