Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia de Partículas

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Enunciado

Q 9 - Duas partículas pontuais de massas m 1 = 1,4   k g e m 2 = 0,8   k g estão conectadas por uma haste rígida (de massa desprezível) e comprimento L = 0,30   m podendo se movimentar no plano x y . O momento de inércia do sistema, em k g . m 2 , em relação a um eixo perpendicular ao plano x y e que passa pelo centro de massa do sistema é:

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos.

O momento de inércia de partículas ligadas por uma haste em relação a um eixo é dado por:

I = ∑ i m i r i 2

Onde m i é a massa da partícula e r i é a distância entre a partícula e o eixo no qual queremos saber o momento de inercia.

Para o caso do nosso problema temos o eixo perpendicular que passa pelo centro de massa no qual queremos saber o momento de inércia está no ponto O , logo:

I z = m 1 d 2 + m 2 L - d 2

Mas o enunciado não nos fornece o valor de d , então temos que encontrar uma expressão para ele.

Passo 2

Para encontrar uma expressão para d , vamos usar o fato de que o centro de massa se encontra na posição x = 0 , então:

m 1 - d + m 2 ( L - d ) m 1 + m 2 = 0

⇒ - m 1 d + m 2 L - d = 0

⇒ d = m 2 m 1 + m 2 L

Passo 3

Conhecendo essa expressão para d , vamos usar no momento de inércia, temos:

I z = m 1 m 2 m 1 + m 2 L 2 + m 2 L - m 2 m 1 + m 2 L 2

= m 1 m 2 m 1 + m 2 L 2 + m 2 m 1 m 1 + m 2 L 2

= m 1 m 2 2 + m 2 m 1 2 L 2 m 1 + m 2 2

= m 1 m 2 ( m 2 + m 1 ) L 2 m 1 + m 2 2

Com isso temos que:

I z = m 1 m 2 L 2 m 2 + m 1

Passo 4

Agora vamos substituir os valores que conhecemos, temos:

I z = m 1 m 2 L 2 m 2 + m 1

⇒ I z = ( 1,4 ) ( 0,8 ) ( 0,3 ) 2 0,8 + 1,4

= 1,12 0,09 2,2

Logo temos que:

I z = 0,0458   k g ⋅ m 2

E fechamos essa questão com sucesso!

Resposta

I z = 0,0458   k g ⋅ m 2

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