Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia de Partículas

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Enunciado

Uma partícula de massa m   =   2,0   k g descreve uma trajetória na forma de uma circunferência de raio R   =   9,0   m . Sua posição angular (em rad.) e dada pela expressão:

θ t = 5 + 2 t 3 3 - t 4 6

Com o tempo t em segundos.

A energia cinética de rotação da partícula (em joules) no instante t   =   2,0   s vale:

  1. 0
  2. 64
  3. 148
  4. 252
  5. 380
  6. 480
  7. 576
  8. 608
  9. 824

Passo 1

Bem... Como não veio desenhado para gente um esqueminha desse treco, que tal começarmos o problema nessa tarefa? Bora desenhar então!

O problema nos disse que temos uma bolinha de massa m = 2   k g girando numa circunferência de raio R = 9 m

A posição angular θ dessa bolinha varia com o tempo t de acordo com essa equação...

θ t = 5 + 2 t 3 3 - t 4 6

Repare que a partir dessa informação, podemos tirar vários insights sobre a partícula como a velocidade angular ω , ou até mesmo a aceleração angular α .

No nosso caso, estamos buscando aqui a energia cinética de rotação K r o t que pode ser dado por...

K r o t = 1 2 I ω 2

Então repare que temos dois caras para encontrar antes: I e ω .

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a velocidade ω como já comentamos.

Pow! Pela cinemática rotacional, sabemos que...

ω = d θ d t

Então...

ω = d d t 5 + 2 t 3 3 - t 4 6   →

ω = 2 3 ⋅ 3 t 2 - 4 t 3 6   →

ω t = 2 t 2 - 2 t 3 3  

Em t = 2,0   s , a velocidade angular será...

ω 2 = 2 ⋅ 2 2 - 2 2 3 3       →

ω 2 = 8 - 16 3       →

ω 2 = 8 3   r a d / s  

Passo 3

Finalmente podemos partir para a busca do momento de inércia I da bolinha.

O momento de inércia é definido por...

I = m R 2

Como a massa da bolinha é 2   k g e o raio é 9   m e t r o s ...

I = 2 ⋅ 9 2   →

I = 162   k m ⋅ m 2

Então a energia cinética rotacional vai ser...

K r o t = 1 2 I ω 2     →

K r o t = 1 2 162   8 3 2 →

K r o t = 576   J

Resposta

Letra G

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