Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia de Partículas

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 288-44

As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes:

Equation

Equation

Equation

Equation

Quais são os momentos de inércia desse conjunto em relação ao eixos (a) Equation , (b) Equation e (c) Equation ? (d) Suponha que as respostas de (a) e (b) sejam Equation e Equation , respectivamente. Nesse caso, qual é a resposta de (c) em termos de Equation e Equation ?

Passo 1

Sabemos que:

Equation

Ou seja, vamos fazer para cada partícula:

  • Descobrir a distância até o eixo desejado
  • Elevar essa distância ao quadrado
  • Multiplicar pela massa da partícula

E depois iremos somar todos os resultados para obter o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo.

Se desenharmos as posições dessas partículas, teremos:

Vamos começar desenhando a distância de cada uma das partículas até o eixo Equation

Assim o momento de inércia em relação a esse eixo será:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazendo o mesmo pro eixo Equation :

Repare que a massa de Equation de cima está exatamente sobre o eixo Equation , o que significa que a sua distância até o eixo Equation é nula!

Equation

A segunda massa nessa equação aqui de cima tá exatamente sobre o eixo Equation , beleza? Isso faz com que a sua distância até o eixo Equation seja nula!

Equation

Passo 3

Já para o eixo Equation , temos que usar o teorema de Pitágoras para achar a distância do ponto ao eixo:

Equation

Realizando o mesmo método:

Equation

Equation

Outro jeito que a gente pode escrever é

Equation

Ou seja

Equation

E podemos dividir esse negócio em dois somatórios

Equation

Reconhece esses caras? Eles são Equation e Equation !!! :o

Equation

Equation

Resposta

  1. Equation
  2. Equation
  3. Equation
  4. Equation

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