Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

Considere no R 4 o produto interno usual. Seja o subespaço W = [ 1 ,   2 ,   0 ,   1 , - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ] .

  1. Determine uma base para é W ⊥ (complemento ortogonal de W ).

Passo 1

O complemento ortogonal de W é o conjunto cujos elementos são ortogonais aos elementos de W . Vamos considerar x ,   y ,   z ,   t um vetor qualquer de W ⊥ .

Sabemos que o produto interno entre vetores ortogonais é igual a 0, então vamos igualar o produto interno do nosso vetor genérico do W ⊥ com os vetores da base de W a zero.

< x , y , z , t , 1 ,   2 ,   0 ,   1 > = 0 ⟹ x + 2 y + t = 0 ⟹ t = - 2 y - x < x ,   y ,   z ,   t , - 2 ,   1 ,   1 ,   0 > = 0 ⟹ - 2 x + y + z = 0 ⟹ z = 2 x - y

Agora podemos escrever todas as coordenadas do nosso vetor em função de   x e y , nossas variáveis livres:

x ,   y ,   z ,   t = x , y , 2 x - y , - x - 2 y = x 1,0 , 2 , - 1 + y 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 2

Assim, achamos nossos vetores geradores de W ⊥ , como formam um conjunto LI (não são múltiplos), formam uma base, que era nosso objetivo. Então uma base para o complemento ortogonal de W é { 1 ,   0 ,   2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   - 2 }

Resposta

{ 1 ,   0 ,   2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   - 2 }

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