Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 68 - 14.

Ache a superfície de ponto P = ( x , y , z ) , cuja distância ao eixo y é 2/3 da distância de P ao plano x z . Identifique a superfície.

Passo 1

O problema não fala diretamente em quádricas nessa questão. Bom, primeiramente vamos ilustrar geometricamente o que o problema nos informou. Chamando de D a distância de P ao eixo y temos:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, podemos encontrar uma equação para D . Temos :

D 2 = x 2 + z 2 D = x 2 + z 2 1 2

Passo 3

A distância de um ponto ao plano x z é a própria coordenada y do ponto.

O problema diz que a distância ao eixo y é 2/3 da distância ao plano x y . Então temos:

x 2 + z 2 1 2 = 2 3 y

x 2 + z 2 = 4 9 y 2

9 x 2 4 + 9 z 2 4 = y 2

Que é a equação do cone circular.

Resposta

Cone circular com equação:

9 x 2 4 + 9 z 2 4 = y 2

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