Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2013.1, Questão 2a

Considere a superfície S definida por:

z = x 2 + y 2 - 3

  1. Faça um desenho da superfície, destacando as curvas de interseção com os planos

x = 0 ,   y = 0   e   z = 0

Passo 1

a) Perceba que S 1 é um paraboloide elíptico, pois podemos escrevê-lo da forma:

z - z 0 c = - x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2

Ajeitando:

z + 3 = x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos fazer os traços do paraboloide elíptico. Temos:

  1. z = 0 x 2 + y 2 = 3 , que é a circunferência no plano x y com centro em 0,0 e raio r = 3
  2. y = 0 z = x 2 - 3 , que é uma parábola no plano x z , com vértice em 0,0 , - 3
  3. x = 0 z = y 2 - 3 , que é uma parábola no plano y z , com vértice em 0,0 , - 3

Passo 3

Juntando todas essas informações, vamos ter o seguinte esboço:

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