Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2013.2, Questão 2a

Considere as superfícies:

S 1 : z = 9 - x 2 - y 2

S 2 :   x 2 4 + y 2 - 2 y = 0

  1. Esboce o gráfico de S 1 e S 2 separadamente, contendo no mínimo 3 curvas com destaque.

Passo 1

a) Perceba que S 1 é um paraboloide elíptico, pois podemos escrevê-lo da forma:

z - z 0 c = - x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2

Ajeitando:

z - 9 = - x 2 - y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos fazer os traços do paraboloide elíptico. Temos:

  1. z = 0 x 2 + y 2 = 9 , que é a circunferência no plano x y com centro em 0,0 e raio r = 3
  2. y = 0 z = 9 - x 2 , que é uma parábola no plano x z , com vértice em 0,0 , 9
  3. x = 0 z = 9 - y 2 , que é uma parábola no plano y z , com vértice em 0,0 , 9

Passo 3

Juntando todas essas informações, vamos ter o seguinte esboço:

Passo 4

Faremos o mesmo para a outra superfície. Podemos escrever S 2 da seguinte forma: S 2 :   x 2 4 + y - 1 2 = 1

Perceba que ele tem uma variável livre (variável que não aparece), logo é um cilindro.

Passo 5

A equação x 2 4 + y - 1 2 = 1

É uma elipse de semi eixos 2 e 1 , com centro em 0,1 . Logo, o cilindro é um cilindro elíptico.

Passo 6

O esboço dessa superfície é:

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