Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

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Enunciado

Dentre as figuras abaixo aquelas que associam corretamente e superfície são:

a) II e IV.

b) I e II.

c) I e III.

d) III e IV.

e) I e IV.

Passo 1

Legal, esse é um problema bem visual!

Temos que ver quais figuras a equação corresponde a superfície esboçada. Vamos olhar para a figura I com equação

x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 = - 4

Fazendo z = 0 (para achar a interseção com o plano x y ), obtemos:

x 2 - 2 y 2 = - 4 ⇒ 2 y 2 - x 2 = 4

Trata-se de uma hipérbole com eixo real na direção y . Mas note que na figura, a interseção da superfície com o plano x y é uma hipérbole com eixo real na direção x . Já podemos descartar essa figura...

Se você não curtiu essa explicação, temos outra forma, também!

Passo 2

Se liga, a equação geral do hiperboloide é:

± x - x 0 2 a 2 ± y - y 0 2 b 2 ± z - z 0 2 c 2 = 1

Aí, podemos olhar para a quantidade de sinais negativos que aparecem:

- Se tivermos 1 sinal negativo, será um hiperboloide de uma folha;

- Se tivermos 2 sinais negativos, será um hiperboloide de duas folhas.

Beleza?

Bom, nós temos:

x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 = - 4

Vamos organizar essa equação igual a forma geral e ver o que aparece. Para isso, temos que colocar igualado a 1 , logo, vmaos dividir tudo por - 4 :

- x 2 4 + 2 y 2 4 + 3 z 2 4 = 1

Arrumando um pouco mais:

- x 2 4 + y 2 2 + z 2 4 3 = 1

Assim, temos a equação da mesma forma que a equação geral, certo?? Logo, podemos ver que temos apenas um sinal negativo, no x . Sendo assim, essa equação representa um hiperboloide de uma folha!! Com o eixo do hiperboloide ao longo do eixo x . Beleza??

Essa realmente está errada!

Passo 3

Na figura II, temos

3 x 2 + 4 y - 5 z 2 = 0

Isolando 4 y :

4 y = 5 z 2 - 3 x 2

Essa equação é típica de “selas”. Fazendo y = c o n s t a n t e , obtemos hipérboles com x e z . Fixando z = c o n s t a n t e , obtemos parábolas com concavidade para baixo como 4 y = - 3 x 2 . Já fixando x = c o n s t a n t e , caímos em parábolas com concavidade para cima, tipo 4 y = 5 z 2 .

Note que na figura temos exatamente essa figura da “sela”. Aqui a correspondência tá bonitinha 😊

Passo 4

Na figura III, temos

x 2 + y 2 = 0

A solução para equação é x = y = 0 . Trata-se de uma reta (o eixo z ). A figura corresponde a um plano, não a uma reta ☹

Descartamos essa aqui...

Passo 5

Na figura IV, temos z = x 2 , que se trata de um cilindro parabólico. As interseções com planos são parábolas. A figura corresponde exatamente a isso 😊

Portanto, as figuras que a correspondência tá certa são II e IV. Alternativa A!

Resposta

Alternativa A.

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