Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 68 - 6.

Considere a quádrica a seguir:

x 2 + 5 y 2 = 8 z 2

Identifique a quádrica, encontre os traços, determine as seções e esboce seu gráfico.

Passo 1

Podemos ajeitar a equação da quádrica para ficar na seguinte forma:

x 2 40 + y 2 8 = z 2 5

Que é a equação do cone elíptico.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora determinar os traços:

  • Plano x y   ( z = 0 ) :
  • x 2 40 + y 2 8 = 0

    É o ponto 0 , 0,0

  • Plano y z   ( x = 0 ) :
  • y 2 8 = z 2 5

    z = ± 5 8 y

    Temos um par de retas.

  • Plano x z   ( y = 0 ) :

x 2 40 = z 2 5

z = ± 1 8 x

Também temos um par de retas.

Passo 3

Vamos determinar seções paralelas aos planos coordenados.

Interseções:

  • Plano z = k
  • x 2 40 + y 2 8 = k 2 5

    Se k 0 :

    x 2 40 ( k 2 5 ) + y 2 8 ( k 2 5 ) = 1

    São elipses para k R   ,   k   0

  • Plano y = k
  • x 2 40 + k 2 8 = z 2 5 x 2 40 - z 2 5 = - k 2 8

    Se k 0

    x 2 40 ( - k 2 8 ) - z 2 5 ( - k 2 8 ) = 1

    São Hipérboles para k R   ,   k   0

  • Plano x = k

k 2 40 + y 2 8 = z 2 5 y 2 8 - z 2 5 = - k 2 40

Se k 0 :

y 2 8 ( - k 2 40 ) - z 2 5 ( - k 2 40 ) = 1

São Hipérboles para k R   ,   k   0

Passo 4

Primeiramente desenhe os traços que a gente achou. Após isso, perceba que as interseções com planos paralelos ao eixo z são elipses. Logo,para representar isso, desenhe duas elipses: uma no topo e outra na parte inferior. O gráfico fica:

Resposta

A quádrica é um cone elíptico . Ela tem os seguintes traços: o ponto ( 0,0 , 0 ) no plano x y , retas z = ± 5 8 y no plano y z e retas z = ± 1 8 x no plano x z .

As interseções com planos k paralelos aos eixos coordenados , com k 0 , são: No plano z = k temos elipses, e nos plnos x = k e y = k temos hipérboles.

O gráfico fica:

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