Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

Ver Teoria

Enunciado

Ache a superfície de ponto P = ( x , y , z ) tais que a distância de P ao ponto ( 0,0 , 1 ) é a mesma do que a de P ao plano y = - 1 .Identifique a superfície.

Passo 1

O problema não fala diretamente em quádricas nessa questão. Bom, primeiramente vamos encontrar a distância de P = ( x , y , z ) ao ponto ( 0,0 , 1 ) . Chamando essa distância de D temos:

D = x 2 + y 2 + z - 1 2 1 2  

Passo 2

Perceba que a distância do ponto P = ( x , y , z ) ao plano y = - 1 é compreendida como sendo a menor distância entre o ponto P e o ponto mais próximo a ele, pertencente ao plano.

Ou seja, é a projeção do ponto P no plano y = - 1 . Vamos chamar essa projeção do ponto P no plano y = - 1 de P ' .Perceba que P ' = ( x , - 1 , z ) . Geometricamente temos:

d 2 = x , y , z - x , - 1 , z 2 = 0 + y + 1 2 + 0 = y + 1 2

d = y + 1

Passo 3

Como D = d temos:

x 2 + y 2 + z - 1 2 1 2 = ( y + 1 )

x 2 + y 2 + z - 1 2 = y + 1 2

x 2 + z - 1 2 = 2 y + 1

x 2 2 + z - 1 2 2 = y + 1 2

Que é a equação do paraboloide Elíptico

Resposta

Parabolóide Elíptico com equação:

x 2 2 + z - 1 2 2 = y + 1 2

P = ( x , y , z )

Exercícios de Livros Relacionados

Os Exercícios 45-48 fornecem equações para parábolas e nos dize quantas unidades para cima ou para baixo e para direita ou para esquerda cada parábola deve ser deslocada. Encontre uma equação para a n
Os Exercícios 45-48 fornecem equações para parábolas e nos dize quantas unidades para cima ou para baixo e para direita ou para esquerda cada parábola deve ser deslocada. Encontre uma equação para a n
Os Exercícios 45-48 fornecem equações para parábolas e nos dize quantas unidades para cima ou para baixo e para direita ou para esquerda cada parábola deve ser deslocada. Encontre uma equação para a n
A parábola y2 = 8x é deslocada 2 unidades para baixo e 1 unidade para a direita para gerar a parábola (y + 2)2 = 8(x - 1). a. Encontre o vértice, foco e diretriz da nova parábola.b. Represente grafica
A parábola X2 = -4y é deslocada 1 unidades para esquerda e 3 unidade para cima para gerar a parábola (x+1)=4(y-3) a. Encontre o vértice, foco e diretriz da nova parábola.b. Represente graficamente os