Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

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Enunciado

Sejam as superfícies dadas pelas equações implícitas

x 2 4 + y 2 + z 2 = 1 .                   x - 2 2 = 4 y 2 + z 2 .

e seja E   ⊂ R 3 a região limitada pelas superfícies e que contém a origem.

a) Faça o esboço da regição E

b) Calculea seguinte integral tripla:

∭ E 3 x d x d y d z

Passo 1

A equação x 2 4 + y 2 + z 2 = 1   tem a cara de um elipsoide

A equação x - 2 2 = 4 y 2 + z 2 é um cone

Passo 2

Agora que já temos uma noção de onde elas estão, precisamos encontrar onde elas se interceptam.

Na primeira equação podemos isolar

y 2 + z 2 = 1 - x 2 4

E substituir na segunda, tendo assim:

x - 2 2 = 4 1 - x 2 4

Abrindo o termo da esquerda

x 2 - 4 x + 4 = 4 - x 2

2 x 2 - 4 x = 0

x = 2   ou   x = 0

Substituindo na primeira equação:

Para x = 2 :

y 2 + z 2 = 0

y = z = 0

Para x = 0 :

y 2 + z 2 = 1

Que é uma circunferência de raio 1 centrada na origem e paralela ao plano Y Z

Passo 3

Como é pedido a região limitada pelas superfícies e que contém a origem, ficamos somente com essa região aqui:

Resposta

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