Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil Ltda, 2009, pp. 217 – 4,5,6,9,10 e 11

Associe cada quádrica ao gráfico que mais se assemelha a ela:

  1. y 2 + z 2 = x 2
  2. y 2 - z 2 = x
  3. - z 2 - y 2 = x
  4. - 4 x 2 - y 2 = z
  5. x 2 + 4 z 2 = y 2

Passo 1

Primeiramente devemos observar o grau de cada variável e os sinais dos coeficientes que estão multiplicando-as.

y 2 + z 2 = x 2

já está na forma padrão da equação do cone circular. Repare que o eixo do cone é o eixo x pois é essa variável que está “isolada” na equação do cone. Portanto a melhor figura é a iv)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

y 2 - z 2 = x

já está na forma padrão da equação do paraboloide hiperbólico(sela) pois temos uma variável com grau 1 de um lado da equação e do outro temos variáveis de grau 2 com sinais opostos.

Além disso, o eixo de grau 1 é o eixo x , imagine que se uma pessoa fosse montar nessa sela, seu corpo ficaria paralelo ao eixo x , e as pernas da pessoa ficariam ao longo do eixo com sinal negativo, eixo z . Portanto, figura ii)

Passo 3

- z 2 - y 2 = x

já está na forma padrão da equação do paraboloide elíptico, pois temos uma variável com grau 1 de um lado da equação e do outro temos variáveis de grau 2 com sinais iguais.

O eixo do paraboloide será o eixo x (variável de grau 1) , pegando a porção negativa, devido aos sinais negativos da equação. Figura v)

Passo 4

- 4 x 2 - y 2 = z - x 2 - y 2 4 = z 4

Agora está na forma padrão da equação do paraboloide elíptico, pois temos uma variável com grau 1 de um lado da equação e do outro temos variáveis de grau 2 com sinais iguais.

O eixo do paraboloide será o eixo z (variável de grau 1) , pegando a porção negativa devido aos sinais negativos da equação. Figura iii)

Passo 5

x 2 + 4 z 2 = y 2 x 2 4 + z 2 = y 2 4

Agora está na forma padrão da equação do cone elíptico, pois temos uma variável com grau 2 de um lado da equação e do outro temos variáveis de grau 2 com sinais iguais.

O eixo do cone será o eixo y (variável “separada”). Figura i)

Resposta

  1. Cone circular, figura iv)
  2. Parabolóide Hiperbólico, figura ii)
  3. Parabolóide Elíptico, figura v)
  4. Parabolóide Elíptico, figura iii)
  5. Cone Elíptico, figura i)

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