Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

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Enunciado

Esboce o gráfico de

z = f x , y = 25 - x 2 - y 2

Restrito à região z ≥ 0 a partir da interseção com os planos z = 0 ,   x = 0 ,   y = 0 e z = 16

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos lá?

O problema nos deu uma superfície:

z = 25 - x 2 - y 2

(ela não aprece uma parábola com boca para baixo em três dimensões? Pois é... a cara é a mesma! Chamamos essa superfície de paraboloide)

Mas para esboçar um gráfico não basta só olhar a ‘cara’ da superfície... precisamos ter uma noção das curvas que essa superfície faz ao interceptar os planos!

Os planos dados são:

z = 0   e   z = 16

Esses são planos “horizontais” se pensarmos em um sistema de coordenadas 3 d como estamos acostumados: x e y sendo ‘o chão’ e z a ‘altura’.

Então é como se a gente “cortasse” em duas alturas esse paraboloide!

Temos também

x = 0

Que é o plano y z , é como se fosse uma ‘parede’ lateral e

y = 0

Que representa o plano x z : essa aqui é a ‘parede’ do fundo

A ideia para esboçar essa superfície é a seguinte: para cada plano dado, substituir na equação da superfície e determinar a curva que representa nesse plano

Com isso, achar a curva no plano correspondente.

E ir fazendo isso com todos os planos dados. Depois, com a ajuda de um programa que gera superfícies, juntar todas essas informações e desenhar a parte do paraboloide bem bonito!

Beleza?

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar desenhando os planos z = 0 e z = 16 .

Para z = 0 (esse será nosso ‘chão’, já que z = 0 representa o plano x y ) a superfície fica assim:

z = 25 - x 2 - y 2 = 0

x 2 + y 2 = 25

Essa curva representa um círculo de raio 5 , e seu esboço é assim:

Beleza? E para z = 16 , como será que fica?

z = 25 - x 2 - y 2 = 16

x 2 + y 2 = 9

Temos um outro círculo, mas agora de raio 3 !

Isso quer dizer que bem no ‘chão’, o círculo é mais largo, enquanto na altura z = 16 o círculo ‘afina’ para o raio 3 . O esboço desse círculo é

Tranquilo?

Vamos para os outros planos?

Passo 3

Agora precisamos ver a cara dessa superfície nos planos que formam as paredes laterais!

Primeiro com x = 0 :

z = 25 - x 2 - y 2

z = 25 - y 2

Opa! Isso é uma parábola com boca para baixo!

Essa parábola é a intersecção da superfície z com a parede lateral esquerda! Pensa que em x = 0 , ou seja, todo eixo x , temos uma parábola com boca para baixo, batendo no z = 0 em y = ± 5 , como se fosse um arco-íris, que fofinho né?

O esboço dessa curva é:

E agora, o último plano é o y = 0 , jogando esse valor na superfície temos:

z = 25 - x 2

Você notou a semelhança? Pois é! Essa curva é bem parecida com a que encontramos no plano x = 0 ! Isso porque o paraboloide é simétrico, e como temos os planos ordenados, a curva tem a mesma cara!

O esboço dessa aqui é:

Beleza?

Agora vamos reunir todas essas informações? Bora lá!

Passo 4

Nos cortes horizontais temos dois círculos, e nas paredes (lateral esquerda e fundo) uma parábola de boca para baixo que corta em - 5 e 5 . Então reunindo todas essas características essa superfície fica assim:

É como se fosse um sorvete arredondado, de cabeça para baixo, cortado na ponta.

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Bora para próxima?

Resposta

e s b o ç o   d a   c u r v a :

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