Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2018.2, Questão E10

Considere a superfície S dada pela equação

z - x 2 + A y 2 + 2 y = 4

Para qual valor de A abaixo a superfície S é um paraboloide elíptico?

  1. A = 1 4
  2. A = - 1 4
  3. A = 0
  4. A = 2
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Vamos lembrar qual a equação geral de um paraboloide elíptico?

z - z 0 c = ± x - x 0 2 a 2 ± y - y 0 2 b 2

Ou seja, temos uma variável isolada de grau um, que é o eixo do nosso paraboloide, e, do outro lado, duas variáveis, de mesmo sinal (ou os dois positivos ou os dois negativos), elevadas ao quadrado.

Tranquilo?!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos tentar organizar a equação da nossa S para ficar parecida com a equação geral e a gente assim conseguir descobrir o valor de A .

Primeira coisa é: temos que isolar a variável de grau um.

No caso, é a variável z .

“Ah, mas tem um y com grau um tbm ali, óh”

Pois é, mas aquele y tá alí justamente pra pegar quem não estuda pela RA rsrsrsrs

Você reparou que tem um termo que tem y 2 também? (Inclusive é justamente o termo que tá com a constante A que a gente quer descobrir).

Então, isso significa que dá pra gente completar quadrado em y , logo, se ele tem um termo quadrático e um termo linear, ele não pode ser a variável que a gente vai isolar. Tá bem? Então tá bem.

Isolando o z então:

z - x 2 + A y 2 + 2 y = 4

z = x 2 - A y 2 - 2 y + 4

Juntando constante com o z :

z - 4 = x 2 - A y 2 - 2 y

Passo 3

Beleza, agora a gente precisa que o termo y 2 fique com sinal positivo, pois como vimos lá no passo 1, as variáveis que estão elevadas ao quadrado devem ter o mesmo sinal.

Para isso, nossa constante A deve ser menor do que zero.

A única opção que nos dá isso como resposta é a letra b . Assim

A = - 1 4

Resposta

L e t r a   b

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