Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

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Enunciado

Dentre as figuras abaixo aquelas que associam corretamente e superfície são:

a) I e IV.

b) I e II.

c) I e III.

d) II e IV.

e) III e IV.

Passo 1

Legal, esse é um problema bem visual!

Temos que ver quais figuras a equação corresponde a superfície esboçada. Vamos olhar para a figura I com equação

x 2 + 2 y 2 - 3 z 2 = - 4

Note que

x 2 + 2 y 2 = 3 z 2 - 4

Como x 2 + 2 y 2 ≥ 0 , temos que a equação só vai fazer sentido se

3 z 2 - 4 ≥ 0

Assim,

z 2 ≥ 4 3 ⇒ z ≤ - 2 3         o u           z ≥ 2 3

Note que isso corresponde bem à figura, que só aparece acima de um determinado z e abaixo de determinado z . A figura I está OK 😊

Passo 2

Na figura II, temos

3 x 2 + 4 y 2 - 5 z 2 = 0

Isolando 5 z 2 :

5 z 2 = 3 x 2 + 4 y 2

Assim,

z = ± 3 x 2 + 4 y 2 5

Trata-se de um cone, o que não corresponde a figura ☹

Passo 3

Na figura III, temos

x 2 + y 2 = 0

Portanto,

x = y = 0

Isso corresponde a uma reta (eiox z ) mas a figura é um plano. Descarte essa aqui ☹

Passo 4

Na figura IV, temos z = x 2 , que se trata de um cilindro parabólico. As interseções com planos são parábolas. A figura corresponde exatamente a isso 😊

Portanto, as figuras que a correspondência tá certa são I e IV. Alternativa A!

Resposta

Alternativa A.

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