Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

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Enunciado

Determine uma equação da superfície obtida pela rotação da “parábola” y = x em torno do eixo x .

  1. y 2 = x 2 + z 2
  2. y = x 2 + z 2
  3. x = y 2 + z 2
  4. y 2 = x 2 - z 2
  5. y = x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar e resolver passo a passo com você!

Vamos primeiro fazer um gráfico em 2 d para entender melhor o desenho:

Então, temos que pensar agora que se rotacionarmos em torno do eixo x , vamos ter um cone deitado, onde a figura formada pela secção reta vertical vai resultar em um círculo no plano y z .

A ideia é tentar desenhar em 3 d essa superfície e comparar com as equações dadas para ver qual é a equação que é resultado dessa rotação

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Como falei ali no passo anterior, temos uma rotação da metade da parábola (parábola no eixo y ) em relação ao eixo x . Como a superfície é uma rotação, nos planos que não envolvem o eixo de rotação (no nosso caso o plano y z ), será formado um círculo

E a equação padrão de um círculo é com a variável ao quadrado, então se temos um círculo no plano y z , a equação dessa superfície deve ter y 2 + z 2 .

z = 0 , deve resultar na parábola dada no enunciado.

Então essa é a equação da nossa superfície!

x = y 2 + z 2

Com a potência de x igual a 1 e a potência do z   e y igual a 2.

Em azul está pontilhado a equação y = x , e em vermelho o resultado da rotação em torno do eixo x .

Beleza?

Sendo assim, a resposta correta é (c). E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

( c ) x = y 2 + z 2

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